15年北师大勾股定理提高经典练习讲解Word文件下载.docx
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BC的长.
举一反三【变式1】如图,已知:
,,于P.求证:
.
【变式2】已知:
如图,∠B=∠D=90°
,∠A=60°
,AB=4,CD=2。
求:
四边形ABCD的面积。
类型三:
勾股定理的实际应用
(一)用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°
方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°
方向走了500m到达目的地C点。
(1)求A、C两点之间的距离。
(2)确定目的地C在营地A的什么方向。
(二)用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.
举一反三
【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
类型四:
利用勾股定理作长为的线段
5、作长为、、的线段。
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。
举一反三【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°
,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。
【变式2】已知:
△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB。
请问FE与DE是否垂直?
请说明。
勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3:
4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。
举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。
【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。
【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是()
A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40
勾股定理的应用
2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°
,点A处有一所中学,AP=160m。
假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?
请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?
【变式】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。
(1)直接写出单位正三角形的高与面积。
(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?
平行四边形ABCD的面积是多少?
(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。
数学思想方法
(一)转化的思想方法
我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.
3、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。
(二)方程的思想方法
4、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°
,,求、、的值。
举一反三:
【变式】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长。
例题1.如左图所示,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=5cm,BC=10cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为()
例题2.已知△ABC中,AB=20,AC=15,BC边上的高为12,求△ABC的面积。
例题4.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4=_____.
例题5.在一棵树的10m高处有两只猴子,其中一只爬下树直奔离树20m的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的距离相等,问这棵树有多高?
2、在Rt△ABC中,∠ACB=900,AC=4,BC=3.在Rt△ABC外部拼接一个合适的三角形,
使得拼成的图形刚好是一个等腰三角形。
要求画出图形并计算出边长。
5、公园里有一块形如四边形ABCD的草地,测得BC=CD=10米,∠B=∠C=120°
,∠A=45度.请你求出这块草地的面积.
6、如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处;
(1)求证:
B′E=BF;
(2)设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a,b,c之间的一种关系,并给予证明.
9.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在
点C′处,折痕为EF,若∠ABE=20°
,那么∠EFC′的度数为度.
12.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连结AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)证明:
△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB=30°
,求EF的长.
勾股定理试卷
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.直角三角形一直角边长为12,另两条边长均为自然数,则其周长为().
(A)30(B)28(C)56(D)不能确定
2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm,另一直角边长为6cm,则它的斜边长
(A)4cm(B)8cm(C)10cm(D)12cm
3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )
(A)25(B)14(C)7(D)7或25
4.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为()
(A)13(B)8(C)25(D)64
5.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是()
6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()
(A)钝角三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形.
7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()
(A)25(B)12.5(C)9(D)8.5
8.三角形的三边长为,则这个三角形是()
(A)等边三角形(B)钝角三角形
(C)直角三角形(D)锐角三角形.
9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°
,AC=30米,AB=50米,如果要在这块空地上种植草皮,按每平方米草皮元计算,那么共需要资金().
(A)50元(B)600元(C)1200元(D)1500元
10.如图,AB⊥CD于B,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形,如果CD=17,BE=5,那么AC的长为().
(A)12(B)7(C)5(D)13
(第10题)(第11题)(第14题)
二、填空题(每小题3分,24分)
11.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.
12.在直角三角形中,斜边=2,则=______.
13.直角三角形的三边长为连续偶数,则其周长为.
14.如图,在△ABC中,∠C=90°
,BC=3,AC=4.以斜边AB为直径作半圆,则这个半圆的面积是____________.
(第15题)(第16题)(第17题)
15.如图,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞___________米.
16.如图,△ABC中,∠C=90°
,AB垂直平分线交BC于D若BC=8,AD=5,则AC等于______________.
17.如图,四边形是正方形,垂直于,且=3,=4,阴影部分的面积是______.
18.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2.
三、解答题(每小题8分,共40分)
19.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题:
“小溪边长着两棵棕榈树,恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺(肘尺是古代的长度单位),另外一棵高20肘尺;
两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然,两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼,它们立刻飞去抓鱼,并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远?
20.如图,已知一等腰三角形的周长是16,底边上的高是4.求这个三角形各边的长.
21.如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?
1.(D);
2.(C);
3.(D);
4.(B);
5.(C);
6.(C);
7.(B);
8.(C);
9.(B);
10.(D);
11.7;
12.8;
13.24;
14.;
15.13;
16.4;
17.19;
18.49;
三、解答题
19.20;
20.设BD=x,则AB=8-x
由勾股定理,可以得到AB2=BD2+AD2,也就是(8-x)2=x2+42.
所以x=3,所以AB=AC=5,BC=6
21.作A点关于CD的对称点A′,连结BA′,与CD交于点E,则E点即为所求.总费用150万元.
作业:
1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()
A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶5
2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD∥BC,斜腰DC的长为10cm,∠D=120°
,则该零件另一腰AB的长是________cm(结果不取近似值).
图18-2-4图18-2-5图18-2-6
3.如图18-2-5,以R
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