高考数学一轮复习学科版考点18 等差数列讲解解析版Word文档下载推荐.docx
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数列为等差数列。
(2)求数列的通项公式。
(1)见解析;
(2)
(1)证明:
由题意知,,又,故,又易知,故数列是首项为,公差为1的等差数列。
(2)由
(1)知,所以由,可得,故数列的通项公式为。
考法二:
中项性质
1.等差数列,,,的第四项等于。
【答案】9
【解析】由题得.所以等差数列的前三项为0,3,6,公差为3,所以等差数列的第四项为9.
2.等差数列的前项和为,若,则。
【解析】由等差数列性质可知:
,解得:
3.已知数列为等差数列,为其前项和,,则。
【答案】21
【解析】由等差数列的性质可得,.
4.已知,,并且,,成等差数列,则的最小值为。
【解析】因为,,且,,成等差数列,所以,
因此,
当且仅当,即,时,等号成立.
5.在等差数列中,若为方程的两根,则。
【答案】15
【解析】为方程的两根,,
由等差数列的性质得,即,.
6.等差数列中,若,则的值是。
【答案】16
【解析】依题意,由,得,即
所以
7.在中,若,,成等差数列,,则当取最大值时,。
【答案】2
【解析】因为,,成等差数列
所以所以由正弦定理得
由余弦定理当且仅当时取等号,
所以此时
8.的内角所对的边分别为,若角依次成等差数列,且,则的面积。
【解析】依次成等差数列,,
因为,由余弦定理得,得,
,故选C.
9.已知,,且,,成等差数列,则有最小值。
【答案】100
【解析】由题意可知:
,且:
,
由均值不等式有:
,当且仅当时等号成立.
10.设有四个数的数列,该数列前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为.则实数m的取值范围为。
【解析】设的前项为,由于数列的前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为,所以,由(3)(4)得,所以即,先将
(2)代入
(1),然后将(3)代入
(1)得,整理得.
考法三:
前n项和的性质
1.设等差数列的前项和为,若,,则的值为。
【答案】6
【解析】因为,所以,故.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,则=。
【答案】1
【解析】∵等差数列{an}中,,∴,∴,.
3.已知等差数列的前项和为,且,,则;
【答案】60
【解析】数列{an}为等差数列则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.S10,S20-S10,S30-S20仍然成等差数列.因为在等差数列{an}中有S10=10,S20=30,所以S30=60.
4.数列的通项公式为,要使数列的前项和最大,则的值为。
【答案】13或12
【解析】因为,所以数列是以为首项,公差的等差数列,
所以由二次函数的性质可得:
当或时,最大。
5.若数列是等差数列,首项,,则使前项和成立的最大自然数是__________.
【解析】由于等差数列首项,而,故公差,且,所以,,故使前项和成立的最大自然数是.故填:
.
6.是等差数列的前项和,,则时的最大值是。
【答案】4034
【解析】由所以所以
可知等差数列是单调递增的,且前2017项均是负数,又
即
故当时,的最大值是4034
6.设等差数列的前项和,且,则满足的最大自然数的值为。
【答案】12
【解析】由,利用等差数列的性质可得:
又<
0,>
0,
∴>
0,<
0.∴,
则满足Sn>
0的最大自然数n的值为12.
考点四:
实际运用
1.《九章算术》有这样一个问题:
今有男子善走,日增等里,九日共走一千二百六十里,第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里,问第一日所走里数为。
【解析】由题意,该男子每日走的路程数构成等差数列,,,
则,解得,
,解得,
所以公差,.
2.中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:
“某贾人擅营,月入益功疾(注:
从第2月开始,每月比前一月多入相同量的铜钱),3月入25贯,全年(按12个月计)共入510贯”,则该人12月营收贯数为。
【答案】70
【解析】设每个月的收入为等差数列{an}.公差为d.则a3=25,S12=510.∴a1+2d=25,12a1+d=510,解得a1=15,d=5,
3.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:
今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为。
【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列,
分析可得数列是首项,公差的等差数列,
该问题中的1864人全部派遣到位的天数为,则,
依次将选项中的值代入检验得,满足方程.
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:
把100个面包分给五个人,使每个人所得成等差数列,最大的三份之和的是最小的两份之和,则最小的一份的量是。
【解析】由题意可得中间的那份为20个面包,设最小的一份为,公差为,
由题意可得,解得.
5.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,如“九儿问甲歌”就是其中一首:
一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,这位公公的长儿的年龄为。
【答案】35岁
【解析】设这位公公的第个儿子的年龄为,由题可知是等差数列,设公差为,则,
又由,即,解得,即这位公公的长儿的年龄为岁.
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