曲线拟合的最小二乘法Word格式文档下载.docx
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例如:
用各点误差绝对值的和表示:
用各点误差按模的最大值表示:
用各点误差的平方和表示:
或
(6.1)
其中称为均方误差,由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。
按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。
本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。
在运筹学、统计学、逼近论和控制论中,最小二乘法都是很重要的求解方法。
例如,它是统计学中估计回归参数的最基本方法。
关于最小二乘法的发明权,在数学史的研究中尚未定论。
有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。
勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文,这时高斯指出,他早在1795年之前就使用了这种方法。
但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。
在实际问题中,怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线?
关键在选择适当的拟合曲线类型,有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型;
在对拟合曲线一无所知的情况下,不妨先绘制数据的粗略图形,或许从中观测出拟合曲线的类型;
更一般地,对数据进行多种曲线类型的拟合,并计算均方误差,用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。
例如,某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路,景点与主干路之间由各具特色的支路联接。
设景点的坐标为点列;
设主干路为一条直线,即拟合函数是一条直线。
通过计算均方误差最小值而确定直线方程(见图6.2)。
6.2 线性拟合和二次拟合函数
线性拟合
给定一组数据,做拟合直线,均方误差为
(6.2)
是二元函数,的极小值要满足
整理得到拟合曲线满足的方程:
(6.3)
或
称式(6.3)为拟合曲线的法方程。
用消元法或克莱姆法则解出方程:
a=
=
例6.1下表为P.Sale及R.Dybdall在某处作的鱼类抽样调查,表中为鱼的数量,为鱼的种类。
请用线性函数拟合鱼的数量和种类的函数关系。
13
15
16
21
22
23
25
29
30
31
36
11
10
12
14
17
40
42
55
60
62
64
70
72
100
130
24
34
解:
设拟合直线,并计算得下表:
编号
x
y
xy
x2
1
2
3
4
5
∑
956
344
143
150
176
252
264
4420
18913
169
225
256
441
484
16900
61640
将数据代入法方程组(6.3)中,得到:
解方程得:
=8.2084,=0.1795
拟合直线为:
=8.2084+0.1795
二次拟合函数
给定数据序列,用二次多项式函数拟合这组数据。
设,作出拟合函数与数据序列的均方误差:
(6.4)
由多元函数的极值原理,的极小值满足
整理得二次多项式函数拟合的法方程:
(6.5)
解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数。
方程组(6.5)称为多项式拟合的法方程,法方程的系数矩阵是对称的。
当拟保多项式阶时,法方程的系数矩阵是病态的,在计算中要用双精度或一些特殊算法以保护解的准确性。
例6.2给定一组数据,如下表。
用二次多项式函数拟合的这组数据。
-3
-2
-1
-5
设,由计算得下表:
0
1
2
3
-12
-4
-15
-39
9
28
8
-8
-45
-7
-27
8
27
81
96
将数据代入式(6.5),相应的法方程为:
=0.66667,=-1.39286,=-0.13095
∴=0.66667-1.39286-0.13095
拟合曲线的均方误差:
=3.09524
结果见图6.3。
图6.3
拟合曲线与数据序
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- 曲线拟合 最小二乘法
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