人教版八年级数学上册讲义全册Word下载.docx
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a时,就可构成三角形.
1.2确定三角形第三边的取值范围:
两边之差<
第三边<
两边之和.
2.三角形的主要线段
2.1三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.
①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点;
②直角三角形三条高线交于直角顶点;
③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点
2.2三角形的角平分线
三角形一个角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三条角平分线交于三角形内部一点.
2.3三角形的中线
连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线交于三角形内部一点.
三、三角形的角
1三角形内角和定理
结论1:
△ABC中:
∠A+∠B+∠C=180°
※三角形中至少有2个锐角
结论2:
在直角三角形中,两个锐角互余.
※三角形中至多有1个钝角
注意:
①在三角形中,已知两个内角可以求出第三个内角
如:
在△ABC中,∠C=180°
-(∠A+∠B)
②在三角形中,已知三个内角和的比或它们之间的关系,求各内角.
△ABC中,已知∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4,求∠A、∠B、∠C的度数
2三角形外角和定理
2.1外角:
三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角.
2.2性质:
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补
2.3外角个数:
过三角形的一个顶点有两个外角,这两个角为对顶角(相等),可见一个三角形共有6个外角
四、三角形的分类
(1)按角分:
①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形
(2)按边分:
①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形
五多边形及其内角
1、多边形的定义:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
2、正多边形:
各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
3、多边形的对角线
(1)从n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线,将多边形分成(n-2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
4、n边形的内角和等于(n-2)·
180°
(n≥3,n是正整数)。
任意凸形多边形的外角和等于360°
※多边形外角和恒等于360°
,与边数的多少无关.
※多边形最多有3个内角为锐角,最少没有锐角(如矩形);
※多边形的外角中最多有3个钝角,最少没有钝角.
5、实现镶嵌的条件:
拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°
;
相邻的多边形有公共边。
【考点三】判断三角形的形状
8、若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,试判断△ABC的形状。
9、已知a,b,c是△ABC的三边,且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,试判断△ABC的形状。
10、若△ABC的三边为a、b、c(a与b不相等),且满足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0,试判断△ABC的形状。
二、三角形角有关计算
1.如图△ABC中AD是高,AE、BF是角平分线,它们相交于点O,∠A=50°
∠C=70°
求∠DAC,∠AOB
解∵AD是△ABC的高,∠C=70°
∴∠DAC=180°
-90°
-70°
=20°
∵∠BAC=50°
∴∠ABC=180°
-50°
=60°
∵AE和BF是角平分线
∴∠BAO=25°
∠ABO=30°
∴∠AOB=180°
-25°
-30°
=125°
2.如图,△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°
求∠DAC的度数
3.已知:
P是△ABC内任意一点.求证:
∠BPC>∠A
4.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100°
,求x的值
5.已知△ABC的∠B、∠C的平分线交于点O。
求证:
∠BOC=90°
+∠A(角平分线模型)
6.已知:
BP、CP是△ABC的外角的平分线,交于点P。
求证:
∠P=90°
-∠A(角平分线模型)
7.△ABC中,∠ABC的平分线BD和△ABC的外角平分线CD交于D,求证:
∠A=2∠D(角平分线模型)
8.△AOB中,∠AOB=90°
∠OAB的平分线和△ABC的外角∠OBD平分线交于P,求∠P的度数
9.如图:
∠A+∠B+∠C=∠ADC(飞镖模型)
第12章全等三角形
一、全等三角形的概念与性质
1、概念:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
(1)表示方法:
两个三角形全等用符号“≌”来表示,记作≌
2、性质:
(1)对应边相等
(2)对应角相等(3)周长相等(4)面积相等
二、全等三角形的判定
1全等三角形的判定方法:
(SAS),(SSS),(ASA),(AAS),(HL)
边边边(SSS)
边角边(SAS)
角边角(ASA)
角角边AAS
直角边和斜边(HL)
三边对应相等的两三角形全等
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.
有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)
2.全等三角形证题的思路:
3全等三角形的隐含条件:
①公共边(或公共角)相等②对顶角相等
③利用等边(等角)加(或减)等边(等角),其和(或差)仍相等
④利用平行线的性质得出同位角、内错角相等
全等三角形(SAS)
【知识要点】
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”,几何表示
如图,在和中,
≌
【典型例题】
【例1】已知:
如图,AB=AC,AD=AE,求证:
BE=CD.
证明:
在△ABE和△ACD中,
AB=AC,
∠BAE=∠CAD
AD=AE
∴△ABE≌△ACD(SAS)
∴BE=CD.
【例2】如图,已知:
点D、E在BC上,且BD=CE,AD=AE,∠1=∠2,由此你能得出哪些结论?
给出证明.
【例3】如图已知:
AE=AF,AB=AC,∠A=60°
,∠B=24°
,求∠BOE的度数.
【例4】如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,AB∥DE且AB=DE,AF=DC。
BC∥EF。
【例5】如图,已知△ABC、△BDE均为等边三角形。
BD+CD=AD。
全等三角形(SSS)
三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”,
几何表示
【例1】如图,在中,M在BC上,D在AM上,AB=AC,DB=DC求证:
AM是的角平分线
证明:
在△ABD和△ACD中,
AB=AC
DB=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠BAD=∠CAD
又∵AB=AC
∴MB=MC
∴AM是的角平分线(三线合一)
【例2】如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
BD⊥AC。
例3.如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
∠B=∠C。
例4.如图,在中,,D、E分别为AC、AB上的点,且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证:
DE⊥AB。
全等三角形(AAS)
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“AAS”,
【例1】已知如图,,求证:
BC=EF
【例2】如图,AB=AC,,求证:
【例3】已知:
如图,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:
BE=CD.
【例4】已知如图,,点P在AB上,可以得出PC=PD吗?
试证明之.
全等三角形(ASA)
【例1】如图,已知中,,、分别是及平分线.求证:
.
【例2】如图,在△MPN中,H是高MQ和NR的交点,且MQ=NQ.求证:
HN=PM.
∵MQ和NR是△MPN的高,∴∠MQN=∠MRN=90°
,
又∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°
,∠3=∠4∴∠1=∠2
在△MPQ和△NHQ中,
∴△MPQ≌△NHQ(ASA)∴PM=HN
如图AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,M是AB的中点,连结CM并延长交BD于点F。
AC=BF.
全等三角形(HL)
直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“HL”
1、如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,.求证:
例2、已知:
BE⊥CD,BE=DE,BC=DA,求证:
①△BEC≌△DAE;
②DF⊥BC.
例3、如图:
在△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N。
(1)求证:
MN=AM+BN。
全等三角形常见辅助线的作法
一倍长中线法
倍长中线法:
就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
倍长中线法的过程:
延长×
×
到某点,使什么等于什么(延长的那一条),用SAS证全等(对顶角)
方法总结:
遇中线,要倍长,倍长之后__构造全等三角形_,转移边、转移角,然后和已知条件重新组合解决问题
【例题精讲】
例1、如图1,在△ABC中,AD为BC边上的中线.求证:
AB+AC>2AD.
分析:
①因为AD为中线,延长AD至点E,使DE=AD,连接CE;
②进而利用全等三角形的判定(SAS)△ABD≌△ECD;
③由全等可得_AB=EC__;
延长AD至E,使DE=AD,连接EC
∵AD是中线
∴DC=DB
在△CDE和△BDA中
DE=AD,
∠CDE=∠BDA,
DC=DB
∴△CDE≌△BDA(SAS)
∴CE=AB
在△AEC中CE+AC>
AE,CE=AB
∴AB+AC>
AE
∵DE=AD
∴AE=2AD
∵AB+AC>
∴AB+AC>
2AD
例2如图CB,CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB.求证:
CE=2CD.
延长CD至,使DF=CD,连接BF,
在⊿ADF和⊿BDC中AD=BD
∠ADF=∠BDC
CD=DF
∴⊿ADF≌⊿BDC
∴AF=BC,
AF∥BC∴∠
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