第3章2控制系统状态空间表达式的解Word下载.docx
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下面再求的关系式。
因为A有n个不同的特征根,并设T为A的变换矩阵,则有:
……
……(3-23)
代入(3-21)得:
……(3-24)
又根据(3-12)式,
所以可得:
……(3-25)
即:
所以,(3-20)式得到证明。
例3-5已知,利用凯利-哈密顿定理求。
解:
根据(3-19)式
代入(3-18)式得:
性质12:
矩阵指数函数可用拉氏反变换法求得:
……(3-26)
考虑,在初始条件下的解:
对两边取拉氏变换,得:
两边取拉氏反变换,得:
例3-6:
利用拉氏反变换法求,其中。
3-3线性连续定常非齐次状态方程求解
线性定常非齐次状态方程为:
……(3-27)
从物理意义上看,系统从时刻的初始状态开始,在外界控制的作用下运动。
要求系统在任意时刻的状态,就必须求解(3-27)。
采用类似于齐次标量定常微分方程的解法,(3-27)式可写成:
两边同时左乘,得:
根据矩阵微积分知识,上式进一步有:
两边同时在区间积分,得:
两边同时左乘,并整理得:
……(3-28)
当初始时刻时,(3-28)变为:
……(3-29)
从(3-28)和(3-29)可知,非齐次状态方程(3-27)的解由两部分组成,第一部分是在初始状态作用下的自由运动,第二部分为在系统输入的作用下的强制运动。
当为几种典型的控制输入时,(3-29)有如下形式。
1.脉冲信号输入
……(3-30)
2.阶跃信号输入
……(3-31)
3.斜坡信号输入
求得:
……(3-32)
例3-7求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出:
已知,
若初始条件为零,即
则有
3-4连续时间状态空间表达式的离散化
数字计算机处理的是时间上离散的数字量,如果要采用数字计算机对连续时间系统进行控制,就必须将连续系统状态方程离散化。
另外,在最优控制理论中,我们经常要用离散动态规划法对连续系统进行优化控制,同样也需要先进行离散化。
设连续系统动态方程为:
……(3-33)
系统离散化的原则是:
在每个采样时刻,其中T为采样周期),系统离散化前后的保持不变。
而采样的方法是在时刻对值采样得,并通过零阶保持器,使的值在时间段保持不变。
根据上述离散化原则,我们有离散化后的动态方程为:
……(3-34)
式中,
上述输出方程应该很容易理解,它表示时刻离散系统的输出和输入及其系统状态量的关系,它应该与离散化前的关系一样。
下面我们根据离散化原理求出离散系统状态方程,即求出,。
根据连续时间状态方程求解公式(3-27),我们假设,并求时刻的状态,注意在时段不变:
其中:
,它只与采样周期T有关
令,则:
时,
它也只与采样周期T有关。
我们忽略时刻中的符号,直接用代表时刻。
所以我们有连续系统离散化公式:
……(3-35)
,
例3-8试将下列状态方程离散化
当时
3-5离散时间系统状态方程求解
离散时间状态方程求解一般有两种方法:
递推法(迭代法)和Z变换法。
前者对定常、时变系统都适用,而后者只适用于定常系统。
我们只介绍递推法。
对于线性定常离散系统状态方程:
……(3-36)
依次取,得:
当初始时刻为hT时,同理可推出:
与连续时间系统方程解类似,记:
或,称它们为离散系统的状态转移矩阵。
所以离散系统的解可记为:
……(3-37)
或 ……(3-38)
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