等差数列的前n项和练习含答案Word格式文档下载.docx
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【解析】 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24⇒6a4+6a10=24⇒a4+a10=4⇒S13====26.
3.等差数列的前n项和为Sn,S10=20,S20=50.则S30=________.
【答案】 90
【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列.
∴S10,S20-S10,S30-S20也成等差数列.
∴2(S20-S10)=(S30-S20)+S10,解得S30=90.
4.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=84,S20=460,求S28.
【分析】
(1)应用基本量法列出关于a1和d的方程组,解出a1和d,进而求得S28;
(2)因为数列不是常数列,因此Sn是关于n的一元二次函数且常数项为零.设Sn=an2+bn,代入条件S12=84,S20=460,可得a、b,则可求S28;
(3)由Sn=n2+n(a1-)得=n+(a1-),故是一个等差数列,又2×
20=12+28,∴2×
=+,可求得S28.
【解析】 方法一:
设{an}的公差为d,
则Sn=na1+d.
由已知条件得:
整理得解得
所以Sn=-15n+×
4=2n2-17n,
所以S28=2×
282-17×
28=1092.
方法二:
设数列的前n项和为Sn,则Sn=an2+bn.
因为S12=84,S20=460,
所以
整理得
解之得a=2,b=-17,
所以Sn=2n2-17n,S28=1092.
方法三:
∵{an}为等差数列,
所以Sn=na1+d,
所以=a1-+n,所以是等差数列.
因为12,20,28成等差数列,
所以,,成等差数列,
所以2×
=+,解得S28=1092.
【规律方法】 基本量法求出a1和d是解决此类问题的基本方法,应熟练掌握.根据等差数列的性质探寻其他解法,可以开阔思路,有时可以简化计算.
课后作业
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前10项的和S10等于( )
A.100 B.210
C.380D.400
【解析】 d===4,则a1=3,所以S10=210.
2.在等差数列{an}中,a2+a5=19,S5=40,则a10=( )
A.27B.24
C.29D.48
【答案】 C
【解析】 由已知
解得∴a10=2+9×
3=29.
3.数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n-1,则这个数列一定是( )
A.等差数列B.非等差数列
C.常数列D.等差数列或常数列
【答案】 B
【解析】 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1,当n=1时a1=S1=2.
∴an=这不是等差数列.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于( )
A.6B.7
C.8D.9
【答案】 A
【解析】 ∴
∴Sn=na1+d=-11n+n2-n=n2-12n.
=(n-6)2-36.
即n=6时,Sn最小.
5.一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则它的第7项等于( )
A.22B.21
C.19D.18
【解析】 ∵a1+a2+a3+a4+a5=34,
an+an-1+an-2+an-3+an-4=146,
∴5(a1+an)=180,a1+an=36,
Sn===234.
∴n=13,S13=13a7=234.∴a7=18.
6.一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为( )
A.8B.7
C.6D.5
【解析】 S奇=6a1+×
2d=30,a1+5d=5,S偶=5a2+×
2d=5(a1+5d)=25,a中=S奇-S偶=30-25=5.
7.若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,已知=,则等于( )
A.7B.
C.D.
【解析】 =====.
8.已知数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于( )
A.445B.765
C.1080D.1305
【解析】 an+1-an=3,∴{an}为等差数列.
∴an=-60+(n-1)×
3,即an=3n-63.
∴an=0时,n=21,an>
0时,n>
21,an<
0时,n<
21.
S′30=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|
=-a1-a2-a3-…-a21+a22+a23+…+a30
=-2(a1+a2+…+a21)+S30
=-2S21+S30
=765.
二、填空题(每小题10分,共20分)
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则数列的通项公式an=________.
【答案】 2n
【解析】 设等差数列{an}的公差d,则
,∴,∴an=2n.
10.等差数列共有2n+1项,所有奇数项之和为132,所有偶数项之和为120,则n等于________.
【答案】 10
【解析】 ∵等差数列共有2n+1项,∴S奇-S偶=an+1=.
即132-120=,求得n=10.
【规律方法】 利用了等差数列前n项和的性质,比较简捷.
三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11.在等差数列{an}中,
(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S8;
(2)若a1=1,an=-512,Sn=-1022,求d.
【分析】 在等差数列中,五个重要的量,只要已知三个量,就可求出其他两个量,其中a1和d是两个最基本量,利用通项公式和前n项和公式,先求出a1和d,然后再求前n项和或特别的项.
【解析】
(1)∵a6=10,S5=5,
∴
解方程组,得a1=-5,d=3,
∴a8=a6+2d=10+2×
3=16,
S8==44.
(2)由Sn===-1022,
解得n=4.
又由an=a1+(n-1)d,
即-512=1+(4-1)d,
解得d=-171.
【规律方法】 一般地,等差数列的五个基本量a1,an,d,n,Sn,知道其中任意三个量可建立方程组,求出另外两个量,即“知三求二”.我们求解这类问题的通性通法,是先列方程组求出基本量a1和d,然后再用公式求出其他的量.
12.已知等差数列{an},且满足an=40-4n,求前多少项的和最大,最大值为多少?
(二次函数法)∵an=40-4n,∴a1=40-4=36,
∴Sn==·
n=-2n2+38n
=-2[n2-19n+()2]+
=-2(n-)2+.
令n-=0,则n==9.5,且n∈N+,
∴当n=9或n=10时,Sn最大,
∴Sn的最大值为S9=S10=-2(10-)2+=180.
(图象法)∵an=40-4n,∴a1=40-4=36,
a2=40-4×
2=32,∴d=32-36=-4,
Sn=na1+d=36n+·
(-4)=-2n2+38n,
点(n,Sn)在二次函数y=-2x2+38x的图象上,Sn有最大值,其对称轴为x=-==9.5,
∴当n=10或9时,Sn最大.
∴Sn的最大值为S9=S10=-2×
102+38×
10=180.
(通项法)∵an=40-4n,∴a1=40-4=36,
2=32,
∴d=32-36=-4<
0,数列{an}为递减数列.
令有
∴即9≤n≤10.
当n=9或n=10时,Sn最大.
∴Sn的最大值为S9=S10=×
10=×
【规律方法】 对于方法一,一定要强调n∈N+,也就是说用函数式求最值,不能忽略定义域,另外,三种方法中都得出n=9或n=10,需注意am=0时,Sm-1=Sm同为Sn的最值.
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