差分方程模型习题+答案Word下载.docx

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k=（0:

n）'

;

y1=dai（x0,n,r,b）;

round（[k,y1'

]）

functionx=dai（x0,n,r,b）

a=1+r;

x=x0;

fork=1:

n

x（k+1）=a*x（k）-b;

end

（2）用MATLAB计算：

A0=250000*（1.004^240-1）/1.004^240

思考与深入：

（2）结论：

128个月即70岁8个月时将基金用完

（3）A0=1.5409e+005

结论：

若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。

2.某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。

建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？

如果要10年还清，每月需还多少？

记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。

则第k+1个月末欠银行的钱为

x（k+1）=a*x（k）+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2…

在r=0.005及x0=100000代入，用MATLAB计算得结果。

编写M文件如下:

functionx=exf11（x0,n,r,b）

x（k+1）=a*x（k）+b;

MATLAB计算并作图:

k=（1:

140）'

y=exf11（100000,140,0.0005,-1000）;

所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。

如果要10年即n=120还清，则模型为：

r*x0*（1+r）^n/[1-（1+r）^nb=-r*x0*（1+r）^n/[1-（1+r）^n]

用MATLAB计算如下：

>

x0=100000;

r=0.005;

n=120;

b=-r*x0*（1+r）^n/[1-（1+r）^n]

b=1.1102e+003

所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。

3.在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为；

猫头鹰的年平均减少率为；

田鼠的存在引起的猫头鹰减少率的增加与田鼠的数量成正比，比例系数为。

建立差分方程模型描述田鼠和猫头鹰共处时的数量变化规律，对以下情况作图给出50年的变化过程。

（1）设开始时有100只田鼠和50只猫头鹰。

（2）同上，开始时有100只田鼠和200只猫头鹰。

（3）适当改变参数（初始值同上）

（4）求差分方程的平衡点，它们稳定吗？

记第k代田鼠数量为，第k代猫头鹰数量为，则可列出下列方程：

运用matlab计算，程序如下：

functionz=disanti（x0,y0,a1,a2,r1,r2）

y=y0;

49

x（k+1）=x（k）+（r1-y（k）*a1）*x（k）;

y（k+1）=y（k）+（-r2+x（k）*a2）*y（k）;

z=[x'

y'

];

（1）

z=disanti（100,50,0.001,0.002,0.2,0.3）

plot（1:

50,z（:

1））;

holdon;

2）,'

r'

）

（2）

z=disanti（100,200,0.001,0.002,0.2,0.3）

（3）

当a1,a2分别取0.002,0.002时，得到如下图像：

可见，当a1,a2参数在一定范围内改变时，猫头鹰与田鼠数量在一定范围内震荡，且不灭绝。

（4）

令；

解方程得到如下结果：

x=150

y=200

经matlab验证如下：

z=disanti（150,200,0.001,0.002,0.2,0.3）

由此可知：

平衡点为：

x=150y=200

4.研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用。

草的生长遵从Logistic规律，年固有增长率0.8，最大密度为3000（密度单位），在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉1.6（密度单位）的草。

若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以补偿，在草最茂盛时补偿率为1.5。

作一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程，就以下情况进行讨论：

（1）比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况。

（2）适当改变参数，观察变化趋势。

模型假设：

1．草独立生存，独立生存规律遵从Logistic规律；

2．草场上除了鹿以外，没有其他以草为食的生物；

3．鹿无法独立生存。

没有草的情况下，鹿的年死亡率一定；

4．假定草对鹿的补偿率是草场密度的线性函数；

5．每只鹿每年的食草能力是草场密度的线性函数。

记草的固有增长率为r，草的最大密度为N，鹿独立生存时的年死亡率为d，草最茂盛时鹿的食草能力为a，草对鹿的年补偿作用为b；

第k＋1年草的密度为，鹿的数量为，第k年草的密度为，鹿的数量为。

草独立生存时，按照Logistic规律增长，则此时草的增长差分模型为，但是由于鹿对草的捕食作用，草的数量会减少，则满足如下方程：

（1）

鹿离开草无法独立生存，因此鹿独立生存时的模型为，但是草的存在会使得鹿的死亡率得到补偿，则满足如下差分方程：

（2）

另外，记初始状态鹿的数量为，草场密度初值为，各个参数值为：

，，，，

利用MATLAB编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：

%定义函数diwuti，实现diwuti-Logistic综合模型的计算，计算结果返回种群量

functionB=disiti（x0,y0,r,N,b,a,d,n）%描述diwuti-Logistic综合模型的函数

x

（1）=x0;

%草场密度赋初值

y

（1）=y0;

%鹿群数量赋初值

fork=1:

n;

x（k+1）=x（k）+r*（1-x（k）/N）*x（k）-a*x（k）*y（k）/N;

y（k+1）=y（k）+（-d+b*x（k）/N）*y（k）;

end

B=[x;

y];

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

C1=disiti（1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50）;

C2=disiti（3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50）;

k=0:

50;

plot（k,C1（1,:

）,'

b'

k,C1（2,:

k,C2（1,:

k,C2（2,:

axis（[05003000]）;

xlabel（'

时间/年'

ylabel（'

种群量/草场：

单位密度，鹿：

头'

title（'

图1.草和鹿两种群数量变化对比曲线'

gtext（'

x0=1000'

x0=3000'

草场密度'

鹿群数量'

比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况（绘制曲如图1所示）：

由图中可以看到，蓝色曲线代表草场密度的初始值为1000时，两种群变化情况；

而红色曲线则代表草场密度的初始值为3000时，两种群的变化情况。

观察两种情况下曲线的演变情况，可以发现大约40-50年左右时间后，两种群的数量将达到稳定。

使用MatLab计算可以得到，当，即两种群数量的平衡点为（1800，600）。

为进一步验证此结论，下面通过改变相关参数，研究两种群变化情况，找到影响平衡点的因素：

（1）改变草场密度初始值；

从图2中可以看到，改变草场的初始密度不会对两种群数量的平衡点造成影响。

（2）改变鹿的数量初值

由图2可以看到，鹿初始的数量的改变在理论上也不会改变最终种群数量的平衡值。

但是，我们可以看到，y0=2000的那条曲线（紫色曲线），在5－15区间内降低到了非常小的值，这显然是不符合鹿的现实繁殖规律的，因为鹿的种群可持续繁殖的最小数量是存在域值的。

当种群数量低于这个值时，在实际情况下，鹿的种群就要灭绝。

同样道理，草场的密度也存在一个最小量的域值，低于这个阈值，草也将灭绝。

综合上面分析，可以在此得出一个结论：

最大密度一定的草场所能承载的鹿的数量存在上限。

（3）改变草场的最大密度N，画图比较结果；

如图4所示，如果草场密度的最大值N发生变化，则最终两种群数量的平衡点也会发生相应的变化。

N值越大，平衡点两种群的数量就越大；

N越小，平衡点两种群的数量就越小。

（4）改变鹿群独立生存时的死亡率

实验中，改变了鹿单独生存的死亡率得到如图5.1和5.2两幅图，可以得出结论：

鹿单独生存的死亡率越大，则两种群数量达到平衡点的时间越短；

相反，鹿单独生存的死亡率越小，则两种群数量达到平衡点的时间越长（甚至有可能会出现分叉、混沌）。

（5）草场密度对鹿数量的补偿作用变化（b变化）

从图中可以看到，如果b增大，则达到稳定点的时间会加长，但如果b减小则会有一个域值，当b低于域值时，草－鹿种群数量的平衡时将不收敛于同一个平衡点，出现多值性。

5.Leslie种群年龄结构的差分方程模型

已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给出了变化过程的基本规律）。

孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。

假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。

假设开始时，0~2，2~4，4~6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；

讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：

各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？

昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？

假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？

将两周分成一个时段，设k时段2周后幼虫数量为：

x1（k）,2到4周虫的数量为：

x2（K）,4到6周虫数量为：

x3（K）。

据题意可列出下列差分方程：

x1（k+1）=x2（