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(5-34)
在此仅以心为变量进行分析,令uc=AePt并代入(5-33),得到其对应的特征方程
LCp2+RCp+l=0
求解上式,得到特征根为
因此,电容电压"
。
用两特征根表示如下:
(5-36)
uc=&
£
如+A2ePzl
从式(5-35)可以看出,特征根必、伐仅与电路的参数和结构有关,而与激励和初始储能无关。
戸、几又称为固有频率,单位为奈培⑴每秒(Np/s),它与电路的自然响应函数有关。
根据换路定则,可以确定方程(5-33)的初始条件为wc(0+)=wc(0_)=t/o,
/(0+)=/(0_)=/o,又因为ic=_C芈,所以有€?
学=一厶。
将初始条件和式(5-36)atatC
联立可得
(5-37)
(5-38)
Pi一A
Pi-A
将4.4的表达式代入(5-36)式即可得到RLC串联电路的零输入响应,但特征根门、
①奈培是一个无量纲单位,以奈培(JolmNapier,英格兰数学家)的名字命名。
伐与电路的参数R、L、C有关,根据二次方程根的判别式可知必、伏只有三种可能情况,
卜•面对这三种情况分别讨论
(5-39)
在此情况下,几、伐为两个不相等的实数,电容电压可表示为
Pi-A・
c"
%=cu(占”_严f)dfP2-P1V
根据电压电流的关系,可以求出电路的其他响应为
I=
E(…)i
其中利用了门必=亠的关系。
厶C*
由于A>
/A,因此f>
0时,£
吶>
八‘,且一“>
0。
所以『>
0时®
'
Pi~1\Pi-1\
一直为正。
从(5-40)可以看出,当/>
0时,i也一直为正,但是进一步分析可知,当t=0时,z(0J=0,当/T8时,j(s)=0,这表明说)将出现极值,可以求一阶导数得到,即
p严-p2ePzt=0
max
其中心遮为电流达到最大的时刻。
%、i、%的波形如图5-38所示。
图5-38过阻尼放电过程中Uc.i、I—的波形
从图5-38可以看出,电容在整个过程中一直在释放储的电能,称之为非振荡放电,有叫做过阻尼放电。
当fVf”』寸电感吸收能量,建立磁场:
时,电感释放能量,磁场衰减,
趋向消失。
当t=tm时,电感电压过零点。
(5-42)
其中:
称之为振荡电路的衰减系数:
比任揺称之为振蕩电路的衰减角频率。
左称之为无阻尼自由振荡角频率,或浮振角频率。
显然有co^=a2+GT,^0=aictan—,则有Q=qcos0,d?
=6?
0sin<
9,如图5-39
\a)
所示。
二空(曲+&
)
CD
根据式(5-40),(5~41)可知
(5—44)
(5-45)
(5-46)
从上述情况分析可以看出c、/\UL的波形呈振荡衰减状态。
在衰减过程中,两种
储能元件相互交换能量,如表5-2所示。
IQ、i、%的波形如图5-40所示。
图5-40欠阻尼情况下llc.i、"
匸的波形
表5-2
0<
GJt<
71-0
7C-0<
(Xt<
7T
电容
释放
吸收
电感
电阻
消耗
从欠阻尼情况下叭、/•、g的表达式还能得到以下结论:
(1)
e=k兀,k=0丄2,3
为电流,的过零点,即的极值点。
(2)
at-1<兀+8,k=0丄2,3…
.…为电感电压UL的过零点,即电流i的极值点O
(3)
cat=kn-Oyk=0丄2,3…
•…为电容电压一的过零点。
在上述阻尼的情况中,有一种特殊情况,k=0,此时必、必为一对共轨虚数,
Pi=一皿
代入到(5~44),(5-45),(5-46)式可得
(5-47)
(5-49)
(5-48)
%=U°
sin(Q。
/+y)
由此可见,"
八i、"
乙各量都是正弦函数,随时推移其振幅并不衰减。
其波形如图5-41
所示
在此条件下,特征方程具有重根,即
R9
P严为一近"
2
全微分方程(5-33)的通解为
根据初始条件可得
4=
金=2匕
所以,很容易得到
uc=UQ(l+at)e^at
(5-50)
・厂d%U°
-a/
l=-C―=—/z?
dt厶匕
(5-51)
uL=L-=Uoe^\l-at)
(5-52)
dt
显然,/\UL不作振荡变化,随着时间的推移逐渐衰减,其衰减过程的波形与图
5-38类似。
此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线,所以将R=2花的过程称为临界非振荡过程,其电阻也被称之为临界电阻。
5.7二阶电路的零状态响应
如果二阶电路中动态元件的储能(电容储存电场能与电感储存的磁场能)均为零时,其响应仅由外施激励产生,称为二阶电路的零输入响应。
5.7.1RLC串联电路的零状态响应
电路如图5-47所示,开关S闭合前,电容和电感电流均为零。
/=0时,开关S闭合。
以心为电路的变量,根据VCR和KVL,有
方程(5-64)为二阶常系数非齐次微分方程,其解由两部分组成,一部分为非齐次方程
的特解uc=Us,另一部分为对应齐次方程的通解W;
=Aep,,即uc=uc+°
方程(5-63)对应的齐次微分方程
方程(5-64)与方程(5-33)完全相同,其对应的特征方程的根也有三种情况。
将结论分别表示如下
1.R〉2店,非振荡充电过程
电路响应表示为
1=丄——(严_严)
MPi-Pi)
叫(必严_?
严‘)
■A-P2-
其中戸、宀为特征根,表达式与(5-35)式相同。
叫、i和“C的波形如图5-48所示,
Pl一PlPl
图5-48件、f•和—的波形图
其中t=—-—In厶/,是电感电压过零点,也是电流i达到最大值的时刻。
1X13Xomx
uc=wc(l+2t)e~2t+Us
uL=use^at(l-at)
R
其中6Z=A,此情况下的充电过程也为非振荡充电。
2L
5.7.2RLC并联电路的零状态响应
二阶RLC并联电路如图5-49所示,Hc(0_)=0,/;
(0_)=0of>
0时,开关S断开。
根据KCL有
图5-49RLC并联电路的零状态响应
如果以L为待求变量,则有
方程以(5-65)是二阶线性非齐次常微分方程,与(5-63)式的求解过程相同,其通解由特解L和对应齐次微分方程通解j;
两部分组成。
如果■为直流激励或正弦激励,则取稳态解?
•;
为特解而通解j;
与零输入响应形式相同,其积分常数有初始条件来确定。
5.8二阶电路的全响应
在前两节中所讨论的二阶电路中,要么只有初始储能,要么只有外施激励。
分别得到二阶微分方程求解的方法非常相似。
如果二阶电路既有初始储能又接入了外施激励,则电路的响应称为二阶电路的全响应。
分析一阶电路的全响应的方法在二阶电路中同样适用,一般用零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应。
例电路如图5-51所示,已知g(0_)=0,z;
(0J=0.5A,/=0时开关$闭合,求开关闭合后电感中的电流iL(t)o
解:
开关S闭合前,电感中的电流L(0_)=0・54,具有初始储能;
开关S闭合后,直
流激励源作用于电路,故为二阶电路的全响应。
(1)列出开关闭合后的电路微分方程,列结点①KVL方程有
设电路全响应为j;
(/)=/;
+,
(2)根据强制分量计算岀特解为
<
=y=2(A)
(3)为确定通解,首先列出特征方程为
,11n
P~+-P+-=^
特征根为:
]\=-0.1+J0.7
p2=-0.1-J0.7
特征根戸,几是一对共轨复根,所以换路后暂态过程的性质为欠阻尼性质,即
i:
=山7"
sin(0.7f+0)
(4)全响应为
W)=i;
+i;
=2+Ae~0A,sin(0.7/+&
又因为初始条件为
匚(。
+)=L(O-)=0.5(4)
—®
(0-)_0dr3l
所以有
J2+Asin&
=0.5(A)[0.74cos&
-0.14sin&
=0
求解得
4=1.52
&
=261.9°
所以电流L的全响应为
L(/)=[2+l・52八”sin(0・7f+261・9°
)](A)
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