第三章泛函分析初步原始版Word格式.docx
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(3-1)
推论:
零状态线性系统系统算子为线性算子。
3.2线性子空间
定义(线性子空间):
设,是的线性子空间
对,有。
定义(直和):
设是的子空间,若对,可唯一表示成,其中,则称是
的直和,记为:
。
3.3距离空间(度量空间——MetricSpace)
定义(距离空间):
设,称为距离空间,指在中定义了映射:
(包括0),满足以下三条公理:
ⅰ),且(正定性)
ⅱ)(可交换性)
ⅲ)(三角不等式)
称为上的距离,为度量空间。
定义(收敛):
度量空间中的点列收敛于W
是的极限
当趋于W上的点x0
定理:
在中,每个收敛点列有唯一的极限点。
证明:
设,
对
当nmax{n1,n2}时,有
即。
证毕。
定义(柯西序列——CauchySequence):
设是中的点列,若对,使,则称是中的柯西序列。
趋于越来越靠近
注:
中任意收敛序列是柯西序列,但中的柯西序列未必收敛到中。
例:
是上Cauchy列,W=(0,1],。
但是,序列收敛于0W,即该序列不是W=(0,1]上的收敛序列。
定义(完备度量空间——CompleteMetricSpace):
称为完备度量空间,指其中所有柯西序列都收敛。
3.4巴拿赫(Banach)空间
1.赋范线性空间:
定义(赋范线性空间):
设是线性空间,若对,满足三条公理:
ⅰ),且(正定性)
ⅱ)(正齐性)
ⅲ)(三角不等式)
称为的范数(Norm),定义了范数的线性空间称为赋范线性空间,记为:
注:
度量空间与赋范空间的关系:
在中,定义:
举例:
(长度概念的推广——广义长度)
✓例1:
对于,,n维实数空间
(3-2)
称为p范数。
特别地,当p=2时,
(3-3)
为2范数,称为欧氏范数。
无穷范数定义为:
(3-4)
✓例2:
离散时间(信号)序列空间l,无穷维
(3-5)
(3-6)
特别地,
(上确界)
(3-7)
✓例3:
连续时间信号空间,无穷维
对于
(3-8)
(3-9)
特别的,
(3-10)
Minkovski不等式:
设,则:
(3-11)
等号成立条件为:
低次方可和的离散无穷维序列必高次方可和。
(3-12)
其中。
证明:
,因为
所以使得当n>
N时,恒有:
因而,,
所以:
定义(强收敛):
在中,收敛于,指:
,也称为依范数收敛(ConvergenceinNorm)。
定义(弱收敛,前已述及):
依泛函收敛。
强收敛弱收敛。
2.Banach空间:
定义(Banach空间):
完备的称为Banach空间。
例1:
是Banach空间。
例2:
不是Banach空间,[R]不可积。
例3:
是Banach空间,[L]可积。
Holder不等式:
若
则
(3-13)
若,则
(3-14)
即:
高次方可积的连续函数必低次方可积。
当p=q时,定理显然成立。
当时,构造,即,
对,依Holder不等式有
即:
因此,,即。
3.5Hilbert空间
1.内积空间:
定义(内积):
设为实或复线性空间,若对(数域),均有一个实数或复数与之对应,记为,满足:
ⅰ),且(正定性)
ⅱ)(共轭交换性)
ⅲ)(齐次性)
ⅳ)(加法分配性)
则称为与的内积。
定义(内积空间):
定义了内积的空间为内积空间。
1.
2.(实/复数域),若为数的集合,则为通常的二元函数。
3.ⅲ)和ⅳ)可合并:
例子:
♦,,
(3-15)
♦(约定了内积的n维复线性空间,又称为酉空间),
(3-16)
H表示共轭转置。
♦,连续函数空间
(3-17)
♦n维平方可积复连续函数空间
(3-18)
,则
(3-19)
2.Hilbert空间:
定义(欧氏范数),则内积(线性)空间成为赋范线性空间。
定义(Hilbert空间):
依欧氏范数完备的内积空间称为Hilbert空间。
Cauchy-Schwarz不等式:
为内积空间,,有
(3-20)
取,有:
说明:
1)在Holder不等式中,取,就成为Cauchy-Schwarz不等式。
2)在空间中,有Cauchy-Schwarz不等式:
(3-21)
3)在空间中,有Cauchy-Schwarz不等式:
(3-22)
3.线性泛函:
定义(算子——Operator):
为线性空间,算子:
或。
其中,为定义域,为值域。
图3-1
定义(泛函——Functional):
值域是实/复数域的算子为泛函。
定积分,距离,范数,内积,函数(第三种定义),(普通)函数均为泛函。
为线性空间,,若对,有:
(3-23)
,则为线性算子。
定义(线性泛函):
线性算子的值域为实/复数集。
1)距离、范数是泛函,但非线性泛函;
2)连续线性算子:
图3-2
3)对线性算子:
有界连续;
定义(有界线性算子):
设算子T:
XY(L,S)
M>
0,使||TX||yM||X||x成立,则称T为有界线性算子。
4)内积为连续线性泛函;
5)积分算子,,
上连续。
3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开
1.正交——Orthogonal:
定义(正交):
在内积空间中,若,满足:
,则称与正交,记为:
其中为常数,Kronecker符号,
(3-24)
定义(正交(子)集):
中任意两个元正交。
定义(集正交):
若,对,有,则称集与集正交,记为:
定义(正交补):
,的正交补,显然:
定义(规范正交完备集):
1)(完备性);
2)(规范正交)。
Hilbert空间存在规范正交完备集。
是Hilbert空间,,是的正交子集。
2.正交投影——OrthogonalProjection:
定义(正交投影):
是Hilbert空间,,,若,使,则称是在上的正交投影或投影,记为:
与的距离最小,即正交投影使均方误差最小化。
图3-3
3.广义傅里叶展开:
定义:
设是Hilbert空间的规范正交完备集,则对,有,为广义傅里叶系数。
是Hilbert空间的规范且完备的一组正交基。
是在上的投影。
Parseval等式:
设,则
(3-25)
物理解释:
信号的总能量=各个分量的能量的和。
几何解释:
广义勾股定理。
用N项广义傅里叶展开逼近:
设是Hilbert空间的规范正交完备集,
,
在上的投影:
这里规范正交,但不完备。
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