计算方法非线性方程求根Word文档下载推荐.docx
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取
3.判断:
若
,则方程的根为
;
若
,则有根区间为
令
4.如果│b-a│<
ε(ε为误差限),则方程的根为
否则转向步骤2,继续二分有根区间[a1,b1],并计算中点值,继续有根区间的判断,直到满足精度要求为止,即│bn-an│<
ε
二分次数的确定:
如果给定误差限ε,则需要二分的次数可由公式
确定应二分的次数。
例1用区间二分法求方程
在某区间内实根的近似值(精确到0.001)
【思路】参见上述区间二分法的计算步骤
解∵f(1.8)=-0.168<0,f(1.9)=0.359>0
∴f(x)在区间[1.8,1.9]内有一个根。
由公式
取n=6,
计算结果列表如下:
n
an
bn
xn
f(xn)
1
1.8
1.9
1.85
+
2
1.825
-
3
1.8375
4
1.83125
5
1.834375
6
1.8328125
则方程在区间[1.8,1.9]内所求近似值为x*≈x=1.8328125
区间二分法的优点是计算程序简单,只要f(x)在区间[a,b]上连续,区间二分法就可使用,但区间二分法不能用来求偶次重根,由于区间二分法收敛比较慢,在实际计算中,区间二分法常用来求比较好的含根区间和初始近似值,以便进一步使用收敛更快的迭代法求出更精确的近似值。
迭代序列收敛阶的概念
设迭代序列
收敛于
,如果存在实数
与正常数c,使得
,则称序列
是
阶收敛于
。
特别地,当
时,称序列
为线性(一次)收敛;
为线性收敛时,必须要求
当
为平方(二次)收敛;
为超线性收敛;
收敛阶
越大,则序列
与
的误差缩减越快,也就是序列
收敛越快。
二、切线法(牛顿法)
1.切线法的基本思想:
假设方程f(x)=0在区间[a,b]上有唯一根x*,过曲线y=f(x)上的一点(x0,f(x0)),作曲线的切线,用此切线与x轴的交点的横坐标x1作为方程的根x*的新的近似值,再过点(x1,f(x1)),作曲线的切线,则又得到新的近似值,按此方法进行迭代计算,直到满足精度要求为止。
切线法(牛顿法)的迭代公式为
2.切线法的收敛性
我们利用定理(7.1)来判断切线法的收敛性。
定理(7.1)还给出了一个初始值x0的选择方法,
定理7.1.设f(x)在[a,b]上存在二阶连续导数,且满足条件
⑴f(a)f(b)<
0;
⑵f/(x)在[a,b]上不等于零
(3)f//(x)在[a,b]上不变号
则对任意初值x0∈[a,b],只要满足f(x0)f//(x)≥0.则由切线法迭代公式得到的近似根序列
平方收敛于方程f(x)=0在区间[a,b]的唯一根x*。
2.切线法的计算步骤:
先判断有根区间[a,b],然后选择初始值x0(一般地,若f//(x)>
0,则选择区间的右端点;
若f//(x)<
0,则选择区间的左端点),再建立迭代公式进行计算(列表计算)。
例2用切线法求例1中方程在[1,2]内根的近似值,精确到0.000001
【思路】根据f(x0)f//(x)>
0在有根区间上选择初始值x0,代入迭代公式进行计算
解
计算得
1.857142857
1.83478735
1.834243504
1.834243185
例3
证明计算
的切线法迭代公式为
(n=0,1,…)
解因为计算
等同于求方程
的根,
将
,代入切线法迭代公式得:
三、弦位法
1.弦位法的基本思想:
假设方程f(x)=0在区间[a,b]上有唯一根x*,在区间[a,b]内的曲线y=f(x)上任取两点作弦,用此弦与x轴的交点横坐标作为方程根的近似值。
按此方法进行迭代计算,直到满足精度要求为止。
弦位法分为单点弦法和双点弦法。
2.单点弦法建立弦的迭代公式时,固定其中一个点,而另一个点变动的迭代求根方法。
单点弦法的迭代公式
(1)单点弦法的收敛性
利用定理7.2判断其收敛性。
单点弦法收敛所满足条件和切线法的收敛条件相同,不同的是单点弦法迭代公式所产生的序列是线性收敛于f(x)=0在区间[a,b]上有唯一根x*。
我们计算时应注意,在选择固定点c时,也要求满足条件
(2)单点弦法的计算步骤同切线法类似。
3.双点弦法
建立弦的迭代公式时,两个点都变动的迭代求根方法。
双点弦法的迭代公式为:
(1)双点弦法收敛性
利用定理(7.3)判断。
f(x)在[a,b]上满足的条件为:
⑴f(a)f(b)<
0;
⑵f/(x)≠0
⑶KR≤ρ<1,其中K=M2/2m1,
M2=max│f//(x)│,m1=min│f/(x)│,
R=max{│x0-x*│,│x1-x*│}.则以a,b为初始值,
由双点弦法迭代公式得到的序列超线性收敛于方程f(x)=0在区间[a,b]的唯一根x*。
(2)双点弦法的计算步骤同切线法类似。
但在计算时应注意收敛性的判断和初始值的选
择。
例4
试导出计算
的单点弦法迭代公式,并用它计算
,准确到
因为计算
的正根,
令
,代入单点弦法迭代公式,得:
例5分别用单点弦法和双点弦法求方程
在[1,2]内根的近似值,
精确到10-3
【思路】参见单点弦法和双点弦法的计算步骤
解方法一.
单点弦法
方法二.双点弦法
四、一般迭代法
一般迭代法的基本思想:
若方程f(x)=0在区间[a,b]上有唯一根x*,将方程变形为同解方程x=φ(x),且φ(x)连续,则建立迭代公式xn+1=φ(xn)(n=0,1,…,)。
设x0是方程的一个近似根,
将它代入迭代公式进行迭代,求出的一系列近似根,直到满足精度要求为止。
1.一般迭代法的迭代公式:
2.一般迭代法的收敛性
建立一般迭代法的迭代公式可以有许多方法,但是有些迭代公式产生的迭代序列不收敛,所以判断迭代公式的收敛性就十分重要。
我们利用定理(7.4)判断一般迭代法的收敛性问题。
3.一般迭代法的计算步骤同切线法类似。
计算时也应注意收敛性的判断和初始值的选择。
例6
设
证明由
,得到的序列
。
证明
由
,
两式相减,应用中值定理得
由
得
例7用一般迭代法求方程
在区间[0,1]内的根,要求│xn+1-xn│<10-4
【思路】
根据所给方程找一个能表示为x=φ(x)的同解方程,建立迭代式,并判断方程近似根的敛性.选取初始近似根x0(一般选有根区间的端点值),然后逐次迭代,直到满足精度要求为止。
解
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- 计算方法 非线性 方程 求根
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