线性代数综合测试3Word下载.doc
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由行列式定义可知:
含因子的项只能是与,
而列脚标1342的逆序数为2取正号,故正确答案是。
2.均为阶方阵,,则=。
由于:
。
3.,则=。
解:
由于。
4.若某向量组中含有零向量,则该向量组线性相关。
向量组线性相关性的几条充分条件之一:
含零向量的向量组必相关。
5.设6阶方阵的秩为5,是非齐次线性方程组的两个不相等的解,则
的通解为。
由于,所以的基础解系只含一个向量:
,故有上通解。
6.若矩阵A=与B=相似,则x=0,y=1。
相似矩阵有相同的特征根,再由特征根性质可得
。
二、单项选择题(每小题4分,共24分)
7.设A、B为n阶方阵,且,则为对称矩阵的是D。
A.B.C.D.
直接用矩阵的转置验算:
8.下列矩阵中哪个矩阵是初等矩阵D。
A.B.C.D.
对单位矩阵只作一次初等变换的矩阵叫初等矩阵,可见只有D成立。
9.设为阶方阵,满足关系,则必有 C。
A.B.C.或D.
因为,可推出或。
10.若阶方阵不可逆,则必有B。
A.B.0为的特征值C.秩()=D.=
可逆;
秩()=可逆;
不可逆,不代表=;
故选B:
0为的特征值
11.设A=(aij)mxn,若m<
n,则B。
A. A的行向量组线性相关 B.A的列向量组线性相关
C. A的行向量组无关 D.A的列向量组无关
定理:
行向量组、列向量组、矩阵:
三秩相等。
因为m<
n,所以秩列数,
故列向量组的个数大于秩,线性相关。
12.元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是B。
A.B.C.D.
齐次线性方程组有非零解的定理。
13.下面的矩阵中哪一个是二次型的矩阵 C 。
A. B. C. D.
首先,二次型矩阵必须是对称矩阵,其次次对角线上的元素是交叉项的平分,所以选C。
14.阶方阵具有个线性无关的特征向量是与对角矩阵相似的C条件。
A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要
矩阵与对角矩阵相似的充分必要定理保证。
三、计算题(每小题7分,共42分)
15.设与均为3阶方阵,为3阶单位矩阵,,且;
求。
因为AB+E=A2+B
,可逆
所以。
16.满足什么条件时,方程组有唯一解,无解,有无穷多解?
解:
当且时,方程组有惟一解。
当时方程组无解。
当时方程组当时
这时方程组只有零解。
当时,这时方程组有无穷多解。
17.设有向量组,计算该向量组的秩,写出一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。
解:
所以,,为的一个极大无关组;
18.设矩阵的一个特征值为3,求。
19.当为何值时,为正定二次型?
解不等式:
四、证明题(每小题5分,共10分)
20.设A为n阶方阵且,证明:
证明:
因为,
所以
。
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