线性代数教案Word文档下载推荐.doc
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教材名称
作者
同济大学数学系
出版社
高等教育出版社
指定参考书
书名
模块名称
考试范围
考试时间
第一模块
行列式与矩阵的运算
1-80页
第10周
第二模块
线性方程组及向量组
81-120页
第17周
教学目的及要求
56
教学教案设计(续页)
第一章行列式
§
1.1n阶行列式定义
教学目的:
使学生了解和掌握n级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n阶行列式定义及行列式的计算
教学重点:
n阶行列式定义及计算
教学难点:
n阶行列式定义
一、导入线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用,而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。
二、新授
(一)二阶、三阶行列式
对于二元线性方程组
(1.1)
采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解,为此:
第一个方程乘以a22与第二个方程乘以a12相减得
(a11a22-a21a12)x1=b1a22-b2a12
第二个方程乘以a11与第一个方程乘以a21相减得
(a11a22-a21a12)x2=a11b2-a21b1
若a11a22-a21a12≠0,方程组的解为
(1.2)
容易验证(1.2)式是方程组(1.1)的解。
称a11a22-a21a12为二阶行列式,它称为方程组(1.1)的系数行列式,记为D。
我们若记
方程组的解(1.2)式可写成
对三元线性方程组
(1.3)
与二元线性方程组类似,用加减消元法可求得它的解:
(1.4)
为方程组(1.3)的系数行列式,Dj(j=1,2,3)是将D的第j列换成常数列而得到的行列式。
二阶、三阶行列式可用对角线法则计算。
为研究高阶行列式的结构,下面考察等式(1.4):
(1.4)式也可写成如下形式
这里j1j2j3是1,2,3的一个排列,表示对所有的3级排列求和。
(二)n阶行列式的定义
1.定义:
把由n2个数排成n行n列的
(1.5)
称为n阶行列式,它等于所有取自(1.5)中属于不同行同列的n个元素的乘积
的代数和。
这里j1j2…jn是1,2,…,n的一个排列,当τ(j1j2…jn)是偶数时,乘积项前面取正号,当τ(j1j2…jn)是奇数时,乘积项前面取负号。
亦可以将这一定义写成
(1.6)
等式(1.6)右边表示此n阶行列式的展开式,亦表示n阶行列式的值。
当n=2或n=3时(1.6)式表示二阶或三阶行列式,我们还规定一阶行列式|a|的值等于a。
2.例:
计算行列式
(1)
(2)
解:
根据例中
(1),对于n阶对角行列式可证得下面的结论:
例5求下面四阶上三角行列式的值
解:
根据行列式的定义可知,若乘积项不为零,第一列只能取a11,第二列两个非零元素只能取a22,第三列三个非零元素只能取a33,第四列四个非零元素只能取a44,故此
对于n阶上、下三角行列式,我们可以证得以下结论:
。
由此,设法将一般高阶行列式化成三角行列式再求值,是计算行列式的一种简单方便的方法。
(三)n级排列及其奇偶性
1.定义:
由n个数1,2,3,……,组成的一个有序数组称为一个n级排列。
例14321是一个4级排列,35241是一个5级排列.123…n是一个n级排列,它是唯一一个按着由小到大的次序组成的n级排列,称它为n级标准排列.
2.定义:
在一个排列中的两个数,如果排在前面的数大于排在后面的数,则称这两个数构成一个逆序。
在一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列j1j2…jn的逆序数记为τ(j1j2…jn)。
逆序数为奇数的排列称为奇排列,
逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例3在4级排列中,τ(3412)=2+2=4,故4级排列3412为一个偶排列。
τ(2341)=1+1+1=3,故4级排列2341为一个奇排列。
定理1.1:
一个排列中的任何两个元素对换,排列改变奇偶性
1.2n阶行列式的基本性质
了解和掌握n阶行列式的基本性质
n阶行列式的基本性质
n阶行列式基本性质及利用行列式的性质计算行列式
一、导入:
复习第一节内容
(一)定义:
将行列式D的行列位置互换后所得的行列式称为D的转置行列式,记为DT。
即
(二)性质
性质1:
行列式D与它的转置行列式DT值相等,即D=DT。
性质1说明行列式中行与列的地位是相同的,所以凡对行成立的性质,对列也成立。
性质2:
行列式中任意两行(列)互换后,行列式的值仅改变符号。
若设
,则D=-D1。
证明:
,根据定理1,
性质3:
若行列式中有两行(列)元素完全相同,则行列式值等于零。
设行列式
将i行与j行交换,由性质2得D=-D,于是2D=0,即D=0。
由行列式的定义可直接证得:
性质4:
以数k乘行列式的某一行(列)中所有元素,就等于用k去乘此行列式。
或者说,若行列式的某一行(列)中所有元素有公因子,则可将公因子提取到行列式记号外面。
性质5:
若行列式中有一行(列)的元素全为零,则行列式的值等于零。
根据性质3、性质4可推出:
性质6:
若行列式中有两行(列)的元素成比例,则行列式的值等于零。
由行列式定义可证得:
性质7:
若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和。
根据性质4、6、7可证得:
性质8:
若在行列式的某一行(列)元素上加上另一行(列)对应元素的k倍,则行列式的值不变。
在计算行列式时,为了便于检查运算的正确性,一般注明每一步运算的依据。
为此我们约定采用如下的记号:
用ri+krj表示在行列式的第i行元素上加上(减去)第j行对应元素的k倍。
用ci+kcj表示在行列式的第i列元素上加上(减去)第j列对应元素的k倍。
(三)例1计算
例2计算
这个行列式的特点是各列4个数之和都是7,所以有
例3计算行列式
根据行列式的性质有
例4计算行列式
例5解下列方程
(1);
(2)
(1)这是一个用n阶行列式表示的方程,在这个方程中,未知量x的最高次是n,所以方程有n个根。
解这类方程的基本思路是先用行列式的性质将其化简,写出未知中量x的多项式,然后再求出它的根。
这个方程左端是一个n阶字母行列式设为Dn,计算时需要一些技巧。
先化简行列式。
于是原方程式为[x+(n-1)b](x-b)n-1=0
解得原方程的解为x1=(1-n)b,x2=x3=…=xn=b。
(2)因为
于是原方程式为5(x-4)(x+5)=0,解得x1=4,x2=-5。
练习
用行列式的性质证明:
(1)
(2)
3.小结:
本节学习了n级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n阶行列式定义及行列式的计算,n阶行列式的基本性质,应掌握利用行列式的性质计算行列式的方法
1.3n阶行列式的按行(列)展开
使学生了解和掌握n阶行列式的按行(列)展开
n阶行列式的按行(列)展开
一、导入
二、新授
(一)造零降阶法
1.定义:
在n阶行列式
中,把元素aij所在的第i行和第j列划去后所留下的n-1阶行列式称作元素aij的余子式,记作Mij,并记Aij=(-1)i+jMij
Aij称作元素aij的代数余子式。
2.例1在四阶行列式
中元素的余子式和代数余子式分别为
A23=(-1)2+3M23=-M23
在三阶行列式
中元素的余子式和代数余子式分别为
A31=(-1)3+1M31=-3
(二).定理1:
一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除aij外都为零,则这个行列式等于元素aij与它的代数余子式Aij的乘积,即
D=aijAij
分两种情形来证。
首先证明位于第1行第1列的情形,此时行列式为
由行列式定义,并注意到第可1行中除第1列外其余列元素全为零。
可将Dn表示为
而按行列式定义又有
于是Dn=a11M11又A11=(-1)1+1M11=M11
从而Dn=a11A11
再证一般情形。
此时行列式可设为
把Dn行列作如下的调换:
把Dn的第i行依次与第i-1行、第i-2行、…、第1行对调,这样aij就调到原来a1j的位置上,调换的次数为i-1。
再把第j列依次与第j-1列、第j-2列、…、第1列对调,这样元素就调到左上角a11位置,调换次数为j-1。
最终经过i+j-2次调换,把元素调到a11位置,而所得的行列式应为
D1=(-1)i+j-2D=(-1)i+jD
由于aij位于D1的左上角,利用前面的结果,有D1=aijMij
于是Dn=(-1)i+jD1=(-1)i+jaijMij=aijAij。
例2计算行列式
利用定理1,先对第三行进行造零,则有
例3计算行列式
这个行列式从第二行开始,每一行元素之和都等于零,故此将第2、3、4、5列分别加到第1列上得
本行列式具有每一行(列)元素之各都相同,因此把第2、3、…、n-1列都加到第一列上,可得到
例5证明范德蒙(vandermonde)行列式:
用数学归纳法证明。
当n=2时,有
命题成立。
假设命题对n-1阶范德蒙行列式成立。
下面证明命题对n-1阶范德蒙行列式也成立。
由命题假设
代入上式,得
.
(三)行列式按某一行(列)展开定理
定
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- 关 键 词:
- 线性代数 教案