三维设计高三数学理二轮复习题型专题3 平面向量含答案解析Word格式.docx
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∴==-3.
4.(2016·
杭州综合测试)设P是△ABC所在平面内的一点,且则△PAB与△PBC的面积的比值是( )
A.B.C.D.
选B ∵∴=,又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等,∴==.
[技法融会]
1.平面向量线性运算的2种技巧
(1)对于平面向量的线性运算问题,要尽可能转化到三角形或平行四边形中,灵活运用三角形法则、平行四边形法则,紧密结合图形的几何性质进行运算.
(2)在证明两向量平行时,若已知两向量的坐标形式,常利用坐标运算来判断;
若两向量不是以坐标形式呈现的,常利用共线向量定理(当b≠0时,a∥b⇔存在唯一实数λ,使得a=λb)来判断.
2.(易错提醒)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(1)两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值确定.
(2)求非零向量a,b的夹角,一般利用公式cos〈a,b〉=先求出夹角的余弦值,然后求夹角.
(3)向量a在向量b方向上的投影为=|a|cosθ(θ为两向量的夹角).
全国丙卷)已知向量=,=,则∠ABC=( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
选A 因为=,=,
所以·
=+=.
又因为·
=||||cos∠ABC=1×
1×
cos∠ABC=,所以cos∠ABC=.
又0°
≤∠ABC≤180°
,所以∠ABC=30°
.
合肥质检)已知不共线的两个向量a,b满足|a-b|=2且a⊥(a-2b),则|b|=( )
A.B.2C.2D.4
选B 由a⊥(a-2b)得,a·
(a-2b)=|a|2-2a·
b=0,则|a-b|===|b|=2,选项B正确.
重庆二测)设单位向量e1,e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则b在a方向上的投影为( )
A.-B.-C.D.
选A 依题意得e1·
e2=1×
cos=-,|a|===,a·
b=(e1+2e2)·
(2e1-3e2)=2e-6e+e1·
e2=-,因此b在a方向上的投影为==-,选A.
天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·
的值为( )
A.-B.C.D.
5.(2016·
长春质检)已知向量a=(1,),b=(0,t2+1),则当t∈[-,2]时,的取值范围是________.
由题意,=(0,1),根据向量的差的几何意义,表示同起点的向量t的终点到a的终点的距离,当t=时,该距离取得最小值1,当t=-时,该距离取得最大值,即的取值范围是[1,].
答案:
[1,]
1.平面向量数量积运算的2种形式
(1)依据模和夹角计算,要注意确定这两个向量的夹角,如夹角不易求或者不可求,可通过选择求夹角和模的基底进行转化;
(2)利用坐标来计算,向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式,从而应用方程思想解决问题,化形为数,使向量问题数量化.
2.(易错提醒)两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不仅要求其数量积小于零,还要求不能反向共线.
一、平面向量与其他知识的交汇
平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”,常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题,平面向量的“位置”为:
一是作为解决问题的工具,二是通过运算作为命题条件.
[新题速递]
1.已知向量a,b满足|a|=2|b|≠0,且关于x的函数f(x)=-2x3+3|a|x2+6a·
bx+5在R上单调递减,则向量a,b夹角的取值范围是( )
A.B.
C.D.
选D 设向量a,b的夹角为θ,因为f(x)=-2x3+3|a|x2+6a·
bx+5,所以f′(x)=-6x2+6|a|x+6a·
b,又函数f(x)在R上单调递减,所以f′(x)≤0在R上恒成立,所以Δ=36|a|2-4×
(-6)×
(6a·
b)≤0,解得a·
b≤-|a|2,因为a·
b=|a|·
|b|cosθ,且|a|=2|b|≠0,所以|a||b|cosθ=|a|2·
cosθ≤-|a|2,解得cosθ≤-,因为θ∈[0,π],所以向量a,b的夹角θ的取值范围是,故选D.
广东茂名二模)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均为正数,则+的最小值是( )
A.24B.8C.D.
选B ∵a∥b,∴-2x-3(y-1)=0,即2x+3y=3,∴+=×
(2x+3y)=(6+++6)≥=8,当且仅当2x=3y=时,等号成立.∴+的最小值是8.故选B.
这两题考查的是平面向量与函数、不等式的交汇.第1题由函数的性质把问题转化为平面向量问题,求解时应注意两向量的夹角θ∈[0,π].而第2题是利用平面向量的知识得到关于x和y的一个等式,再利用基本不等式求解.
二、新定义下平面向量的创新问题
近年,高考以新定义的形式考查向量的概念、线性运算、数量积运算的频率较大,其形式体现了“新”.解决此类问题,首先需要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,通过转化思想解决,这是破解新定义信息题的关键所在.
[新题速递]
1.已知向量a与b的夹角为θ,定义a×
b为a与b的“向量积”,且a×
b是一个向量,它的长度|a×
b|=|a||b|sinθ,若u=(2,0),u-v=(1,-),则|u×
(u+v)|等于( )
A.4B.C.6D.2
选D 由题意v=u-(u-v)=(1,),则u+v=(3,),cos〈u,u+v〉=,得sin〈u,u+v〉=,由定义知|u×
(u+v)|=|u|·
|u+v|sin〈u,u+v〉=2×
2×
=2.故选D.
2.定义平面向量的一种运算a⊙b=|a+b|×
|a-b|×
sin〈a,b〉,其中〈a,b〉是a与b的夹角,给出下列命题:
①若〈a,b〉=90°
,则a⊙b=a2+b2;
②若|a|=|b|,则(a+b)⊙(a-b)=4a·
b;
③若|a|=|b|,则a⊙b≤2|a|2;
④若a=(1,2),b=(-2,2),则(a+b)⊙b=.其中真命题的序号是________.
①中,因为〈a,b〉=90°
,则a⊙b=|a+b|×
|a-b|=a2+b2,所以①成立;
②中,因为|a|=|b|,所以〈(a+b),(a-b)〉=90°
,所以(a+b)⊙(a-b)=|2a|×
|2b|=4|a||b|,所以②不成立;
③中,因为|a|=|b|,所以a⊙b=|a+b|×
sin〈a,b〉≤|a+b|×
|a-b|≤=2|a|2,所以③成立;
④中,因为a=(1,2),b=(-2,2),所以a+b=(-1,4),sin〈(a+b),b〉=,所以(a+b)⊙b=3×
×
=,所以④不成立.
①③
此类题目是新定义下平面向量的运算,破题的关键是把此定义运算转化为我们所学的平面向量数量积运算,学会转化,是解决此类问题的切入口.
一、选择题
1.设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于( )
选A 因为c=a+kb=(1+k,2+k),又b⊥c,所以1×
(1+k)+1×
(2+k)=0,解得k=-.
山西四校联考)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为( )
选B ∵a⊥(a-b),∴a·
(a-b)=a2-a·
b=1-cos〈a,b〉=0,∴cos〈a,b〉=,∴〈a,b〉=.
3.已知A,B,C三点不共线,且点O满足则下列结论正确的是( )
4.(2016·
贵州模拟)若单位向量e1,e2的夹角为,向量a=e1+λe2(λ∈R),且|a|=,则λ=( )
A.-B.-1C.D.
选A 由题意可得e1·
e2=,|a|2=(e1+λe2)2=1+2λ×
+λ2=,化简得λ2+λ+=0,解得λ=-,选项A正确.
湖南六校联考)设向量a=(cosα,-1),b=(2,sinα),若a⊥b,则tan=( )
A.-B.C.-1D.0
选B 由已知可得,a·
b=2cosα-sinα=0,∴tanα=2,tan==,故选B.
6.已知向量a,b,c中任意两个向量都不共线,但a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c=( )
A.aB.bC.cD.0
选D ∵a+b与c共线,b+c与a共线,∴可设a+b=λc,b+c=μa,两式作差整理后得到(1+λ)c=(1+μ)a,∵向量a,c不共线,∴1+λ=0,1+μ=0,即λ=-1,μ=-1,∴a+b=-c,即a+b+c=0.故选D.
7.(2016·
山西质检)已知a,b是单位向量,且a·
b=-.若平面向量p满足p·
a=p·
b=,则|p|=( )
A.B.1C.D.2
选B 由题意,不妨设a=(1,0),b=,p=(x,y),∵p·
b=,
∴解得∴|p|==1,故选B.
8.(2016·
石家庄一模)A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D,若(λ∈R,μ∈R),则λ+μ的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,+∞)
C.(1,]D.(-1,0)
选B 由题意可得(0<
k<
1),又A,D,B三点共线,所以kλ+kμ=1,则λ+μ=>
1,即λ+μ的取值范围是(1,+∞),选项B正确.
9.(2016·
江西赣南五校联考)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若则向量方向上的投影为( )
C.-D.-
选A 由可知O是BC的中点,即BC为△ABC外接圆的直径,所以由题意知=1,故△OAB为等边三角形,所以∠ABC=60°
.所以向量方向上的投影为||cos∠ABC=1×
cos60°
=.故选A.
10.已知△ABC中,D为边BC的中点,则||等于( )
A.6B.5C.4D.3
11.在平面直角坐标系中,点A与B关于y轴对称.若向量a=(1,k),则满足不等式的点A(x,y)的集合为( )
A.{(
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