离散数学课后习题答案(左孝凌版)Word格式.doc
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(Q→R)∧(R→Q):
一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。
(5)解:
a)设P:
王强身体很好。
Q:
王强成绩很好。
P∧Q
b)设P:
小李看书。
小李听音乐。
P∧Q
c)设P:
气候很好。
气候很热。
P∨Q
d)设P:
a和b是偶数。
a+b是偶数。
P→Q
e)设P:
四边形ABCD是平行四边形。
Q:
四边形ABCD的对边平行。
P«
Q
f)设P:
语法错误。
程序错误。
R:
停机。
(P∨Q)→R
(6)解:
a)P:
天气炎热。
正在下雨。
P∧Q
b)P:
湿度较低。
P∧R
c)R:
天正在下雨。
S:
湿度很高。
R∨S
d)A:
刘英上山。
B:
李进上山。
A∧B
e)M:
老王是革新者。
N:
小李是革新者。
M∨N
f)L:
你看电影。
M:
我看电影。
┓L→┓M
g)P:
我不看电视。
我不外出。
R:
我在睡觉。
P∧Q∧R
h)P:
控制台打字机作输入设备。
控制台打字机作输出设备。
1-3
(1)解:
a)不是合式公式,没有规定运算符次序(若规定运算符次序后亦可作为合式公式)
b)是合式公式
c)不是合式公式(括弧不配对)
d)不是合式公式(R和S之间缺少联结词)
e)是合式公式。
(2)解:
a)A是合式公式,(A∨B)是合式公式,(A→(A∨B))是合式公式。
这个过程可以简记为:
A;
(A∨B);
(A→(A∨B))
同理可记
b)A;
┓A;
(┓A∧B);
((┓A∧B)∧A)
c)A;
B;
(┓A→B);
(B→A);
((┓A→B)→(B→A))
d)A;
(A→B);
((A→B)∨(B→A))
(3)解:
a)((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))
b)((B→A)∨(A→B))。
(4)解:
a)是由c)式进行代换得到,在c)中用Q代换P,(P→P)代换Q.
d)是由a)式进行代换得到,在a)中用P→(Q→P)代换Q.
e)是由b)式进行代换得到,用R代换P,S代换Q,Q代换R,P代换S.
∨
(5)解:
你没有给我写信。
信在途中丢失了。
PQ
张三不去。
李四不去。
他就去。
(P∧Q)→R
c)P:
我们能划船。
Q:
我们能跑步。
┓(P∧Q)
d)P:
你来了。
他唱歌。
你伴奏。
P→(Q«
R)
(6)解:
它占据空间。
它有质量。
它不断变化。
S:
它是物质。
这个人起初主张:
(P∧Q∧R)«
S
后来主张:
(P∧Q«
S)∧(S→R)
这个人开头主张与后来主张的不同点在于:
后来认为有P∧Q必同时有R,开头时没有这样的主张。
(7)解:
上午下雨。
我去看电影。
我在家里读书。
我在家里看报。
(┓P→Q)∧(P→(R∨S))
我今天进城。
┓Q→P
你走了。
我留下。
Q→P
1-4
(4)解:
a)
PQR
Q∧R
P∧(Q∧R)
(P∧Q)∧R
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF
T
F
所以,P∧(Q∧R)Û
(P∧Q)∧R
b)
PQR
Q∨R
P∨(Q∨R)
P∨Q
(P∨Q)∨R
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FF F
T
F
F
T
F
所以,P∨(Q∨R)Û
(P∨Q)∨R
c)
P Q R
Q∨R
P∧(Q∨R)
P∧Q
P∧R
(P∧Q)∨(P∧R)
T T T
T T F
T F T
T F F
F T T
F T F
F F T
F F F
所以,P∧(Q∨R)Û
(P∧Q)∨(P∧R)
d)
PQ
┓P
┓Q
┓P∨┓Q
┓(P∧Q)
┓P∧┓Q
┓(P∨Q)
TT
TF
FT
FF
所以,┓(P∧Q)Û
┓P∨┓Q,┓(P∨Q)Û
如表,对问好所填的地方,可得公式F1~F6,可表达为
P
Q
R
F1
F2
F3
F4
F5
F6
T
F
F1:
(Q→P)→R
F2:
(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R)
F3:
(P←→Q)∧(Q∨R)
F4:
(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R)
F5:
(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R)
F6:
┓(P∨Q∨R)
(6)
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
F
T
解:
由上表可得有关公式为
1.F2.┓(P∨Q)3.┓(Q→P)4.┓P
5.┓(P→Q)6.┓Q7.┓(P«
Q)8.┓(P∧Q)
9.P∧Q10.P«
Q11.Q12.P→Q
13.P14.Q→P15.P∨Q16.T
(7)证明:
a)A→(B→A)Û
┐A∨(┐B∨A)
Û
A∨(┐A∨┐B)
A∨(A→┐B)
┐A→(A→┐B)
b)┐(A«
B)Û
┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))
┐((A∧B)∨┐(A∨B))
(A∨B)∧┐(A∧B)
或┐(A«
┐((A→B)∧(B→A))
┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))
┐((┐A∧┐B)∨(B∧A))
┐(┐(A∨B))∨(A∧B)
(A∨B)∧┐(A∧B)
c)┐(A→B)Û
┐(┐A∨B)Û
A∧┐B
d)┐(A«
B)Û
(A∧┐B)∨(┐A∧B)
e)(((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))
(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))
(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)
(┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D
((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D
(((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D
((C∧(A«
B))→D)
f)A→(B∨C)Û
┐A∨(B∨C)
(┐A∨B)∨C
┐(A∧┐B)∨C
Û
(A∧┐B)→C
g)(A→D)∧(B→D)Û
(┐A∨D)∧(┐B∨D)
(┐A∧┐B)∨D
┐(A∨B)∨D
(A∨B)→D
h)((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))
(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))
(┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C
(┐(A∧B)∧┐(┐D∧B))∨C
┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C
((A∨┐D)∧B)→C
(B∧(D→A))→C
(8)解:
a)((A→B)«
(┐B→┐A))∧C
((┐A∨B)«
(B∨┐A))∧C
(┐A∨B))∧C
T∧CÛ
C
b)A∨(┐A∨(B∧┐B))Û
(A∨┐A)∨(B∧┐B)Û
T∨FÛ
c)(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)
(A∨┐A)∧(B∧C)
T∧(B∧C)
B∧C
(9)解:
1)设C为T,A为T,B为F,则满足A∨CÛ
B∨C,但AÛ
B不成立。
2)设C为F,A为T,B为F,则满足A∧CÛ
B∧C,但AÛ
3)由题意知┐A和┐B的真值相同,所以A和B的真值也相同。
习题1-5
(1)证明:
a)(P∧(P→Q))→Q
(P∧(┐P∨Q))→Q
(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q
(P∧Q)→Q
┐(P∧Q)∨Q
┐P∨┐Q∨Q
┐P∨T
b)┐P→(P→Q)
P∨(┐P∨Q)
(P∨┐P)∨Q
T∨Q
c)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)
因为(P→Q)∧(Q→R)Þ
(P→R)
所以(P→Q)∧(Q→R)为重言式。
d)((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))«
(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))
((a∨c)∧b)∨(c∧a)
((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))
(a∨c)∧
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