离散数学数理逻辑复习题Word下载.docx
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p,其中,p:
王欢与李乐组成一个小组,是简单命题。
(5)如果天下大雨,他就乘班车上班。
天下大雨,q:
他乘班车上班。
(6)只有天下大雨,他才乘班车上班。
他乘班车上班,q:
天下大雨。
(7)除非天下大雨,他才乘班车上班。
2.判断下列公式的类型:
(1)p→(p∨q∨r)
(2)(p→┐q)→┐q
(3)┐(q→r)∧r
(4)(p→q)→(┐q→┐p)
(5)(p∧r)(┐p∧┐q)
(6)((p→q)∧(q→r))→(p→r)
(7)(p→q)(rs)
答案:
(1)、(4)、(6)为重言式。
(3)为矛盾式。
(2)、(5)、(7)为可满足式。
3.用等值演算法证明下面等值式:
(1)¬
(pq)(p∨q)∧¬
(p∧q)
(2)(p∧¬
q)∨(¬
p∧q)(p∨q)∧¬
(1)┐(pq)
┐((p→q)∧(q→p))
┐((┐p∨q)∧(┐q∨p))
(p∧┐q)∨(q∧┐p)
(p∨q)∧(p∨┐p)∧(┐q∨q)∧(┐p∨┐q)
(p∨q)∧┐(p∧q)
(2)(p∧┐q)∨(┐p∧q)
(p∨┐p)∧(p∨q)∧(┐q∨┐p)∧(┐q∨q)
(p∨q)∧┐(p∧q)
4.求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求合取范式:
(1)(p∧q)∨r
(2)(p→q)∧(q→r)
(1)m1∨m3∨m5∨m6∨m7M0∧M2∧M4
(2)m0∨m1∨m3∨m7M2∧M4∧M5∧M6
5.用附加前提法证明下面各推理:
(1)前提:
p→(q→r),s→p,q
结论:
s→r
证明:
①s
附加前提引入
②s→p
前提引入
③p
①②假言推理
④p→(q→r)
⑤q→r
③④假言推理
⑥q
⑦r
⑤⑥假言推理
(2)前提:
(p∨q)→(r∧s),(s∨t)→u
结论:
p→u
证明:
①p
②p∨q
①附加
③(p∨q)→(r∧s)
④r∧s
②③假言推理
⑤s
④化简
⑥s∨t
⑤附加
⑦(s∨t)→u
⑧u
⑥⑦假言推理
6.用归谬法证明下面推理:
(1)前提:
p→┐q,┐r∨q,r∧┐s
┐p
(1)证明:
结论否定引入
②p→┐q
③┐q
④┐r∨q
⑤┐r
③④析取三段论
⑥r∧┐s
⑦r
⑥化简
⑧┐r∧r
⑤⑦合取
⑧为矛盾式,由归谬法可知,推理正确。
(2)前提:
p∨q,p→r,q→s
结论:
r∨s
①┐(r∨s)
③p→r
④q→s
⑤r∨s
②③④构造性二难
⑥┐(r∨s)∧(r∨s)
①合取
⑥为矛盾式,所以推理正确。
7.给定解释I如下:
(a)个体域D={3,4}。
(b)f(x)为f(3)=4,f(4)=3。
(c)F(x,y)为F(3,3)=F(4,4)=0,F(3,4)=F(4,3)=1。
试求下列公式在I下的真值:
(1)xyF(x,y)
(2)xyF(x,y)
(3)xy(F(x,y)→F(f(x),f(y)))
(F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4))
(0∨1)∧(1∨0)1
(F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4))
(0∧1)∨(1∧0)0
(F(3,3)→F(f(3),f(3)))
∧(F(4,3)→F(f(4),f(3)))
∧(F(3,4)→F(f(3),f(4)))
∧(F(4,4)→F(f(4),f(4)))
(0→0)∧(1→1)∧(1→1)∧(0→0)1
8.给定解释I如下:
(a)个体域D=N(N为自然数)。
(b)D中特定元素a=2。
(c)D上函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=x·
y。
(d)D上谓词F(x,y):
x=y。
说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值:
(1)xF(g(x,a),x)
(2)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))
(3)xyz(F(f(x,y),z)
(4)xF(f(x,x),g(x,x))
(1)x(x·
2=x),真值为0。
(2)xy((x+2=y)→(y+2=x)),真值为0。
(3)xyz(x+y=z),真值为1。
(4)x(x+x=x·
x),真值为1。
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