计算方法上机作业.docx
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计算方法上机作业
计算方法上机报告
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学 号:
班级:
上课班级:
说明:
本次上机实验使用得编程语言就是Matlab语言,编译环境为MATLAB7、11、0,运行平台为Windows7。
1.对以下与式计算:
,要求:
①若只需保留11个有效数字,该如何进行计算;ﻫ②若要保留30个有效数字,则又将如何进行计算;
(1)算法思想
1、根据精度要求估计所加得项数,可以使用后验误差估计,通项为:
;
2、为了保证计算结果得准确性,写程序时,从后向前计算;
3、使用Matlab时,可以使用以下函数控制位数:
digits(位数)或vpa(变量,精度为数)
(2)算法结构
1、ﻩ
;
2、ﻩfor
if
end;
3、for
(3)Matlab源程序
clear; %清除工作空间变量
clc; %清除命令窗口命令
m=input('请输入有效数字得位数m='); %输入有效数字得位数
s=0;
forn=0:
50
t=(1/16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6));
ift<=10^(-m) %判断通项与精度得关系
break;
end
end;
fprintf('需要将n值加到n=%d\n',n-1); %需要将n值加到得数值
for i=n-1:
-1:
0
t=(1/16^i)*(4/(8*i+1)-2/(8*i+4)-1/(8*i+5)-1/(8*i+6));
s=s+t; %求与运算
end
s=vpa(s,m) %控制s得精度
(4)结果与分析
当保留11位有效数字时,需要将n值加到n=7,
s=3、1415926536;
当保留30位有效数字时,需要将n值加到n=22,
s=3、149323846264338328。
通过上面得实验结果可以瞧出,通过从后往前计算,这种算法很好得保证了计算结果要求保留得准确数字位数得要求。
2.某通信公司在一次施工中,需要在水面宽度为20米得河沟底部沿直线走向铺设一条沟底光缆。
在铺设光缆之前需要对沟底得地形进行初步探测,从而估计所需光缆得长度,为工程预算提供依据。
已探测到一组等分点位置得深度数据(单位:
米)如下表所示:
分点
0
1
2
3
4
5
6
深度
9、01
8、96
7、96
7、97
8、02
9、05
10、13
分点
7
8
9
10
11
12
13
深度
11、18
12、26
13、28
13、32
12、61
11、29
10、22
分点
14
0
深度
9、15
7、90
7、95
8、86
9、81
10、80
10、93
① 请用合适得曲线拟合所测数据点;
② 预测所需光缆长度得近似值,作出铺设河底光缆得曲线图;
(1)算法思想
如果使用多项式差值,则由于龙格现象,误差较大,因此,用相对较少得插值数据点作插值,可以避免大得误差,但就是如果又希望将所得数据点都用上,且所用数据点越多越好,可以采用分段插值方式,即用分段多项式代替单个多项式作插值。
分段多项式就是由一些在相互连接得区间上得不同多项式连接而成得一条连续曲线,其中三次样条插值方法就是一种具有较好“光滑性”得分段插值方法。
在本题中,假设所铺设得光缆足够柔软,在铺设过程中光缆触地走势光滑,紧贴地面,并且忽略水流对光缆得冲击。
海底光缆线得长度预测模型如下所示,光缆从A点铺至B点,在某点处得深度为。
海底光缆线得长度预测模型
计算光缆长度时,用如下公式:
(2)算法结构
1、ﻩFor
1、1
2、ﻩFor
2、1For
2、1、1
3、ﻩ
4、ﻩFor
4、1
4、2
4、3
5、
6、ﻩ
7、获取M得矩阵元素个数,存入m
8、For
8、1
8、2
8、3
9、
10、ﻩFor
10、1
11、获取x得元素个数存入s
12、
13、For
13、1ifthen ;break
else
14、ﻩ
(3)Matlab源程序
clear;
clc;
x=0:
1:
20; %产生从0到20含21个等分点得数组
X=0:
0、2:
20;
y=[9、01,8、96,7、96,7、97,8、02,9、05,10、13,11、18,12、26,13、28,13、32,12、61,11、29,10、22,9、15,7、90,7、95,8、86,9、81,10、80,10、93]; %等分点位置得深度数据
n=length(x); %等分点得数目
N=length(X);
%%求三次样条插值函数s(x)
M=y;
fork=2:
3; %计算二阶差商并存放在M中
fori=n:
-1:
k;
M(i)=(M(i)-M(i-1))/(x(i)-x(i-k+1));
end
end
h
(1)=x
(2)-x(1); %计算三对角阵系数a,b,c及右端向量d
fori=2:
n-1;
h(i)=x(i+1)-x(i);
c(i)=h(i)/(h(i)+h(i-1));
a(i)=1-c(i);
b(i)=2;
d(i)=6*M(i+1);
end
M
(1)=0; %选择自然边界条件
M(n)=0;
b
(1)=2;
b(n)=2;
c(1)=0;
a(n)=0;
d(1)=0;
d(n)=0;
u
(1)=b(1); %对三对角阵进行LU分解
y1
(1)=d
(1);
fork=2:
n;
l(k)=a(k)/u(k-1);
u(k)=b(k)-l(k)*c(k-1);
y1(k)=d(k)-l(k)*y1(k-1);
end
M(n)=y1(n)/u(n); %追赶法求解样条参数M(i)
fork=n-1:
-1:
1;
M(k)=(y1(k)-c(k)*M(k+1))/u(k);
end
s=zeros(1,N);
for m=1:
N;
k=1;
for i=2:
n-1
if X(m)<=x(i);
k=i-1;
break;
else
k=i;
end
end
H=x(k+1)-x(k); %在各区间用三次样条插值函数计算X点处得值
x1=x(k+1)-X(m);
x2=X(m)-x(k);s(m)=(M(k)*(x1^3)/6+M(k+1)*(x2^3)/6+(y(k)-(M(k)*(H^2)/6))*x1+(y(k+1)-(M(k+1)*(H^2)/6))*x2)/H;
end
%% 计算所需光缆长度
L=0; %计算所需光缆长度
fori=2:
N
L=L+sqrt((X(i)-X(i-1))^2+(s(i)-s(i-1))^2);
end
disp('所需光缆长度为L=');
disp(L);
figure
plot(x,y,'*',X,s,'-') %绘制铺设河底光缆得曲线图
xlabel('位置','fontsize',16); %标注坐标轴含义
ylabel('深度/m','fontsize',16);
title('铺设河底光缆得曲线图','fontsize',16);
grid;
(4)结果与分析
铺设海底光缆得曲线图如下图所示:
仿真结果表明,运用分段三次样条插值所得得拟合曲线能较准确地反映铺设光缆得走势图,计算出所需光缆得长度为L=26、4844m。
3、假定某天得气温变化记录如下表所示,试用数据拟合得方法找出这一天得气温变化得规律;试计算这一天得平均气温,并试估计误差。
时刻
0
11
12
平均气温
5
16
8
时刻
8
19
20
21
22
23
24
平均气温
3
24
22
20
18
17
16
(1)算法思想
在本题中,数据点得数目较多。
当数据点得数目很多时,用“多项式插值”方法做数据近似要用较高次得多项式,这不仅给计算带来困难,更主要得缺点就是误差很大。
用“插值样条函数”做数据近似,虽然有很好得数值性质,且计算量也不大,但存放参数得量很大,且没有一个统一得数学公式来表示,也带来了一些不便。
另一方面,在有得实际问题中,用插值方法并不合适。
当数据点得数目很大时,要求通过所有数据点,可能会失去原数据所表示得规律。
如果数据点就是由测量而来得,必然带有误差,插值法要求准确通过这些不准确得数据点就是不合适得。
在这种情况下,不用插值标准而用其她近似标准更加合理。
通常情况下,就是选取使最小,这就就是最小二乘近似问题。
在本题中,采用“最小二乘法”找出这一天得气温变化得规律,使用二次函数、三次函数、四次函数以及指数型函数,计算相应得系数,估算误差,并作图比较各种函数之间得区别。
(2)算法结构
本算法用正交化方法求数据得最小二乘近似。
假定数据以用来生成了,并将作为其最后一列(第列)存放。
结果在中,就是误差。
I、使用二次函数、三次函数、四次函数拟合时
1、将“时刻值”存入,数据点得个数存入
2、ﻩ输入拟合多项式函数得最高项次数,则拟合多项式函数为 ,根据给定数据点确定
For
For
2、1
2、2
3、For
3、1[形成矩阵]
3、1、1
3、1、2
3、1、3For
3、1、3、1
3、1、4
3、2 [变换到]
3、2、1
For
3、2、2
3、2、3 For
3、2、3、1
4、[解三角方程]
4、1
4、2For
4、2、1
5、ﻩ[计算误差]
II、使用指数函数拟合时
现将指数函数进行变形:
将,代入得:
对上式左右取对数得:
令
则可得多项式:
(3)Matlab源程序
clear; %清除工作空间变量
clc; %清除命令窗口命令
x=0:
24; %将时刻值存入数组
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- 计算方法 上机 作业