现代控制理论(浓缩版)文档格式.doc
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第一章控制系统的状态空间表达式
1.状态空间表达式
n阶
A称为系统矩阵,描述系统内部状态之间的联系;
B为输入(或控制)矩阵,表示输入对每个状态变量的作用情况;
C输出矩阵,表示输出与每个状态变量间的组成关系,D直接传递矩阵,表示输入对输出的直接传递关系。
2.状态空间描述的特点
①考虑了“输入-状态-输出”这一过程,它揭示了问题的本质,即输入引起了状态的变化,而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数,n阶系统有n个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说,把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤:
a选择状态变量;
b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组;
c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式,即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法,特别适合于用计算机计算。
3.模拟结构图(积分器 加法器 比例器)
已知状态空间描述,绘制模拟结构图的步骤:
积分器的数目应等于状态变量数,将他们画在适当的位置,每个积分器的输出表示相应的某个状态变量,然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器,最后用箭头将这些元件连接起来。
4.状态空间表达式的建立
①由系统框图建立状态空间表达式:
a将各个环节(放大、积分、惯性等)变成相应的模拟结构图;
b每个积
分器的输出选作,输入则为;
c由模拟图写出状态方程和输出方程。
②由系统的机理出发建立状态空间表达式:
如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL和KCL列微分方程,整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式(微分方程)或传递函数,建立系统的状态空间表达式,即实现问题。
实现是非唯一的。
方法:
微分方程系统函数模拟结构图状态空间表达式。
熟练使用梅森公式。
注意:
a如果系统函数分子幂次等于分母幂次,首先化成真分式形式,然后再继续其他工作。
b模拟结构图的等效。
如前馈点等效移到综合反馈点之前。
p28
c对多输入多输出微分方程的实现,也可以先画出模拟结构图。
5.状态矢量的线性变换。
也说明了状态空间表达的非唯一性。
不改变系统的特征值。
特征多项式的系数也是系统的不变量。
特征矢量的求解:
也就是求的非零解。
状态空间表达式变换为约旦标准型(A为任意矩阵):
主要是要先求出变换矩阵。
a互异根时,各特征矢量按列排。
b有重根时,设3阶系统,=,为单根,对特征矢量,求法与前面相同,称作的广义特征矢量,应满足。
系统的并联实现:
特征根互异;
有重根。
系统函数部分分式展开模拟结构图状态空间表达式。
6.由状态空间表达式求传递函数阵
的矩阵函数[] 表示第j个输入对第i个输出的传递关系。
状态空间表达式不唯一,但系统的传递函数阵是不变的。
子系统的并联、串联、反馈连接时,对应的状态空间表达及传递函数阵。
画出系统结构图,理清关系,用分块矩阵表示。
7.离散系统的状态空间表达式及实现(模拟结构图)
8.时变系统:
四个矩阵是时间t有关的。
非线性系统:
各微分方程组的右端含有状态变量的非线性项。
利用泰勒级数可以线性化。
第二章控制系统状态空间表达式的解
一.线性定常系统齐次状态方程()的解:
二.矩阵指数函数——状态转移矩阵
1.表示到的转移。
5个基本性质。
2.的计算:
a定义;
b变换为约旦标准型,
c用拉氏反变换记忆常用的拉氏变换对
d应用凯莱-哈密顿定理
三.线性定常系统非齐次方程()的解:
。
可由拉氏变换法证明(当然给出拉氏变换法的求解思路)。
求解步骤:
先求,然后将B和u(t)代入公式即可。
特殊激励下的解。
四.线性时变系统的解
1.状态转移矩阵用来表示。
2.的计算:
当时,;
通常不等。
不满足乘法可交换条件时,一般采用级数近似法:
3.解为:
五.离散时间系统状态方程的解(递推法和Z变换法)
1.递推法
为状态转移矩阵;
满足
解为,
直接计算有一定困难,可采用这样的步骤:
先将原状态方程化为约旦标准型,求变换矩阵T,,再求出,再得到。
当然,。
2.Z变换法 公式不用记忆,现推最好。
;
可见=z];
计算的用到的内容:
部分分式展开(先除z后乘z);
ZT对
六.连续时间状态空间表达式的离散化
1.定常系统的离散化
a. ;
b.近似离散化 即
2.时变系统的离散化 略
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
一.能控性及能观性定义(线性连续定常、时变系统,离散时间系统)
二.线性定常系统的能控性判别(具有一般系统矩阵的多输入系统)
判别方法
(一):
通过线性变换
1.若A的特征值互异,线性变换()为对角线标准型,,能控性充要条件:
没有全为0的行。
变换矩阵T的求法。
2.若A的特征值有相同的,线性变换()为约当标准型,,能控性充要条件:
①对应于相同特征值的部分,每个约当块对应的中最后一行元素没有全为0的。
②中对应于互异特征根部分,各行元素没有全为0的。
变换矩阵T的求法。
这种方法能确定具体哪个状态不能控。
但线性变换比较复杂,关键是求、、。
判别方法
(二):
直接从A,B判别
能控的充要条件是 能控性判别矩阵的秩为n。
在单输入系统中,是一个的方阵;
而多输入系统,是一个的矩阵,可通过
三.线性定常系统的能观性判别
1.若A的特征值互异,线性变换()为对角线标准型,,能观性充要条件:
中没有全为0的列。
①对应于相同特征值的部分,每个约当块对应的中第一列元素没有全为0的。
②对应于互异特征根部分,对应的中各列元素没有全为0的。
这种方法能确定具体哪个状态不能观。
直接从A,C判别
能观性的充要条件是 能观性判别矩阵的秩为n。
四.离散时间系统的能控性与能观性
能控性充要条件的秩为n。
能控性充要条件的秩为n。
五.时变系统的能控性与能观性(与定常系统不同)
1.在上状态能控的充要条件是格拉姆矩阵非奇异。
与一样么?
这种方法要求先计算出状态转移矩阵,如果无法写成闭解,则失去工程意义。
2.使用信息
,其中,
如果存在某个时刻,使得,则系统在上是状态完全能控的。
3.能观性判别与能控性类似,也可以使用格拉姆矩阵,但工作量太大。
可使用信息:
如果存在某个时刻,使得,则系统在上是状态完全能观测的。
六.能控性与能观性的对偶原理
1.若,,,则与对偶。
对偶系统的传递函数阵是互为转置的。
且他们的特征方程式是相同的。
2.与对偶,则能控性等价于能观性,能观性等价于能控性。
时变系统的对偶原理?
?
七.能控标准型和能观标准型
对于状态反馈,化为能控标准型比较方便;
对于观测器的设计及系统辨识,能观标准型比较方便。
1.能控标准Ⅰ型(如果已知系统的状态空间表达式)
①判别系统的能控性。
②计算特征多项式,即可写出。
③求变换矩阵,。
④求,计算,,也可以验证是否有。
2.能控标准Ⅱ型
①判别系统的能控性。
③求变换矩阵。
3.能观标准Ⅰ型
①判别系统的能观性。
4.能观标准Ⅱ型
5.如果已知传递函数阵,可直接写出能控标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型的状态空间表达。
能控标准Ⅰ型:
能观标准Ⅱ型:
八.线性系统的结构分解
1.按能控性分解(状态不完全能控,即),通过非奇异变换完成。
,前个列矢量是M中个线性无关的列,其他列矢量保证非奇异的条件下是任意的。
2.按能观性分解(状态不完全能观,即),通过非奇异变换完成。
,前个行矢量是N中个线性无关的行,其他行矢量保证非奇异的条件下是任意的。
3.按能控性和能观性分解(系统是不完全能控和不完全能观的),采用逐步分解法,虽然烦琐,但直观。
步骤:
①首先按能控性分解(能控状态,不能控状态)。
②对不能控子系统按能观性分解(不能控能观状态,不能控不能观状态)。
③将能控子系统按能观性分解(能控能观状态,能控不能观状态)。
④综合各步变换结果,写出最后的表达式。
另一种方法:
化为约当标准型,判断各状态的能控性能观测性,最后按4种类型分类排列。
九.传递函数阵的实现问题
1.实现的定义:
由写出状态空间表达式,甚至画出模拟结构图,称为传递函数阵的实现问题。
条件:
①传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数;
②元是s的真有理分式。
如果不是有理分式,首先求出直接传递矩阵。
2.能控标准型和能观标准型实现
单入单出系统,是有理分式,可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能观标准2型实现。
多输入多输出系统,是矩阵,将整理成和单入单出系统传递函数相类似的形式,即;
此时的是维常数阵。
其能控标准型和能观标准型实现与单入单出系统类似,只是各矩阵中的0变为全零矩阵,1变为单位矩阵I,常数变为常数乘单位矩阵,即。
能控标准型实现的维数是;
能观标准型实现的维数是。
3.最小实现(维数最小的实现)
为最小实现的充要条件是是完全能控能观的。
对给定的,初选一种实现(能控标准型或能观标准型),假设选能控标准型,判断是否完全能观测,若完全能观测则就是最小实现;
否则进行能观性分解,进一步找出能控能观部分,即为最小实现。
传递函数阵的实现不是唯一
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