届四川省高三下学期月考数学理试题word版含答案Word下载.docx
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A.一定是偶函数B.一定是奇函数
C.一定是偶函数D.一定是奇函数
9.已知抛物线的焦点为F,准线为,以F为圆心,且与相切的圆与抛物线C
相交于点A,B,则()
B.1C.2D.4
10.在如图所示的正方形中随机投掷个点,则落入阴影部分(曲线为正态分布(﹣1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
附“若,则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.
p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544”.
A.1193B.1359C.3413D.2718
11.设函数,若不等式对一切恒成立,则的取值范围是()
A.B,C.D.
12.已知△中,,且满足,则△的面积的最大值为( )
第II卷(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置)
13.已知向量,则= .
14.的展开式中不含的项的系数和为.
15.设,,则不等式组表示的平面区域的面积为________.
16.用一个实心木球毛坯加工成一个棱长均为的三棱锥,则木球毛坯体积的最小值应为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
17.已知是各项均为正数的等比数列,,设,且.
(Ⅰ)求证:
数列是公差为的等差数列;
(Ⅱ)设数列的前项和为,求的最大值.
18.某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(API)的监测数据,结果统计如表:
API
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,300]
>300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
6
14
18
27
20
15
(Ⅰ)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为严重污染.根据提
供的统计数据,完成下面的2×
2列联表,并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的
空气严重污染与供暖有关”?
非重度污染
严重污染
合计
供暖季
非供暖季
100
(Ⅱ)已知某企业每天的经济损失(单位:
元)与空气质量指数x的关系式为,试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望.
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考公式:
K2=
19.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,平面侧面,
且.
(I)求证:
;
(Ⅱ)若直线与平面所成角的大小为,
求锐二面角的大小.
20.(本小题满分12分)动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是∶,记点的轨迹为.
(I)求曲线的方程;
(Ⅱ)对于定点,作过点的直线与曲线交于不同的两点,,求△的内切圆半径的最大值.
21.(本小题满分12分)
设函数,曲线在点处的切线斜率为.
(I)求;
(Ⅱ)若存在,使得,求的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线:
,曲线:
(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(I)求曲线,的极坐标方程;
(Ⅱ)若射线:
()分别交,于两点,求的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数().
(I)若,求不等式的解集;
(Ⅱ)若对于任意的,,都有恒成立,求实数的取值范围.
2014级高三4月月考试题
参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
A
B
12.D 解:
依题意,设CA=b,则BC=b,又AB=4,由余弦定理得:
cosA===﹣,∴cos2A=(﹣)2=+﹣1,∴sin2A=1﹣cos2A=2﹣﹣.∵S△ABC=AB•ACsinA=×
4bsinA=2bsinA,∴S2△ABC=4b2sin2A=4b2(2﹣﹣)=48﹣(b2﹣16)2,当b2=16,即b=4时,4、4、4能组成三角形,∴S2max=48,∴Smax=4.
二、填空题
13.914.-115.16.
如图,将三棱锥补成一个正方体,其棱长为1,则木球毛坯体积最小时应为正方体的外接球,此时直径为=,体积为.故答案为:
.
三、解答题
17解:
(Ⅰ)证明:
设等比数列{an}的公比为q,
则bn+1﹣bn=log2an+1﹣log2an==log2q,
因此数列{bn}是等差数列.
又b11=log2a11=3,b4=17,
又等差数列{bn}的公差,
即bn=25﹣2n.即数列{bn}是以﹣2为公差的等差数列.…
(Ⅱ)设等差数列{bn}的前n项和为Sn,
则n==(24﹣n)n=﹣(n﹣12)2+144,
于是当n=12时,Sn有最大值,最大值为144.
18解:
(Ⅰ)根据题设中的数据得到如下2×
2列联表:
非严重污染
总计
22
30
63
70
85
将2×
2列联表中的数据代入公式计算,得:
K2=≈4.575.∵4.575>3.841
∴由95%的把握认为:
“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”
(Ⅱ)任选一天,设该天的经济损失为X元,则:
P(X=0)=P(0≤x≤100)=P(X=400)=P=,
P(X=2000)=P(x>300)=
∴E(X)=0×
+400×
+2000×
=560.
∴该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望为30×
E(X)=16800元.
20.(本小题满分12分)
解:
(1)f′(x)=(x>0),
∵曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率为0,
∴f′
(1)=a+(1﹣a)×
1﹣b=0,解得b=1.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),由
(1)可知:
f(x)=alnx+,
∴=.
①当a时,则,
则当x>1时,f′(x)>0,
∴函数f(x)在(1,+∞)单调递增,
∴存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件是,即,
解得;
②当a<1时,则,
则当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)在上单调递减;
当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)在上单调递增.
∴存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件是,
而=+,不符合题意,应舍去.
③若a>1时,f
(1)=,成立.
综上可得:
a的取值范围是.
22.(本小题满分10分)
23.(本小题满分10分)
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