法向量求法及应用方法Word格式文档下载.doc
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,称此方程为平面的截距式方程,把它化为一般式即可求出它的法向量。
图1-1
C1
C
B
y
F
A
D
x
A1
D1
z
B1
E
方法三(外积法):
设,为空间中两个不平行的非零向量,其外积为一长度等于,(θ为,两者交角,且),而与,皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」,也就是右手四指由的方向转为的方向时,大拇指所指的方向规定为的方向,。
(注:
1、二阶行列式:
;
2、适合右手定则。
)
例1、已知,,
试求
(1):
(2):
Key:
(1);
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体中,
图2-1-1
α
求平面AEF的一个法向量。
图2-1-2
二、平面法向量的应用
1、求空间角
(1)、求线面角:
如图2-1,设是平面的法向量,
AB是平面的一条斜线,,则AB与平面
所成的角为:
图2-1-1:
图2-1-2:
图2-3
β
图2-2
(2)、求面面角:
设向量,分别是平面、的法向量,则二面角的平面角为:
(图2-2);
(图2-3)
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。
约定,在图2-2中,的方向对平面而言向外,的方向对平面而言向内;
在图2-3中,的方向对平面而言向内,的方向对平面而言向内。
我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”,满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。
2、求空间距离
(1)、异面直线之间距离:
方法指导:
如图2-4,①作直线a、b的方向向量、,
图2-4
n
a
b
求a、b的法向量,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量;
②在直线a、b上各取一点A、B,作向量;
③求向量在上的射影d,则异面直线a、b间的距离为
图2-5
M
N
O
其中
(2)、点到平面的距离:
如图2-5,若点B为平面α外一点,点A
图2-6
为平面α内任一点,平面的法向量为,则点P到
平面α的距离公式为
(3)、直线与平面间的距离:
图2-7
如图2-6,直线与平面之间的距离:
,其中。
是平面的法向量
(4)、平面与平面间的距离:
图2-8
如图2-7,两平行平面之间的距离:
是平面、的法向量。
图2-9
3、证明
图2-10
(1)、证明线面垂直:
在图2-8中,向是平面的法向量,是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线()。
(2)、证明线面平行:
在图2-9中,向是平面的法向量,是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直()。
图2-11
(3)、证明面面垂直:
在图2-10中,是平面的法向量,是平面的法向量,证明两平面的法向量垂直()
(4)、证明面面平行:
在图2-11中,向是平面的法向量,是平面的法向量,证明两平面的法向量共线()。
图3-1
P
三、高考真题新解
1、(2005全国I,18)(本大题满分12分)
已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点
(Ⅰ)证明:
面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC与PB所成的角;
(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小
解:
以A点为原点,以分别以AD,AB,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
,,设平面PAD的法向量为
,,设平面PCD的法向量为
,,即平面PAD平面PCD。
,,
,,设平在AMC的法向量为.
又,设平面PCD的法向量为.
.
面AMC与面BMC所成二面角的大小为.
2、(2006年云南省第一次统测19题)(本题满分12分)
图3-2
如图3-2,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
已知AB=AA1=a,BC=a,M是AD的中点。
(Ⅰ)求证:
AD∥平面A1BC;
(Ⅱ)求证:
平面A1MC⊥平面A1BD1;
(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.
,设平面A1BC的法向量为
又,,,即AD//平面A1BC.
,设平面A1MC的法向量为:
又,,设平面A1BD1的法向量为:
,即平面A1MC平面A1BD1.
设点A到平面A1MC的距离为d,
是平面A1MC的法向量,
又,A点到平面A1MC的距离为:
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线,注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用,建立右手系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;
(化为向量问题)
(2)、通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;
(进行向量运算)
(3)、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
(回到图形问题)
4
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