概率论与数理统计浙大四版习题答案第一章Word下载.doc
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ABC
(5)A,B,C都不发生, 表示为:
或S-(A+B+C)或
(6)A,B,C中不多于一个发生,即A,B,C中至少有两个同时不发生
相当于中至少有一个发生。
故表示为:
。
(7)A,B,C中不多于二个发生。
相当于:
中至少有一个发生。
(8)A,B,C中至少有二个发生。
AB,BC,AC中至少有一个发生。
AB+BC+AC
6.[三]设A,B是两事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7.问
(1)在什么条件下P(AB)取到最大值,最大值是多少?
(2)在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少?
解:
由P(A)=0.6,P(B)=0.7即知AB≠φ,(否则AB=φ依互斥事件加法定理,P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>
1与P(A∪B)≤1矛盾).
从而由加法定理得
P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B) (*)
(1)从0≤P(AB)≤P(A)知,当AB=A,即A∩B时P(AB)取到最大值,最大值为
P(AB)=P(A)=0.6,
(2)从(*)式知,当A∪B=S时,P(AB)取最小值,最小值为
P(AB)=0.6+0.7-1=0.3。
7.[四]设A,B,C是三事件,且,.求A,B,C至少有一个发生的概率。
P(A,B,C至少有一个发生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=
8.[五]在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词,若从26个英语字母中任取两个字母予以排列,问能排成上述单词的概率是多少?
记A表“能排成上述单词”
∵从26个任选两个来排列,排法有种。
每种排法等可能。
字典中的二个不同字母组成的单词:
55个
∴
9.在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面四个数全不相同的概率。
(设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0,1,2……9)
记A表“后四个数全不同”
∵后四个数的排法有104种,每种排法等可能。
后四个数全不同的排法有
∴
10.[六]在房间里有10人。
分别佩代着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录其纪念章的号码。
(1)求最小的号码为5的概率。
记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A
∵10人中任选3人为一组:
选法有种,且每种选法等可能。
又事件A相当于:
有一人号码为5,其余2人号码大于5。
这种组合的种数有
(2)求最大的号码为5的概率。
记“三人中最大的号码为5”为事件B,同上10人中任选3人,选法有种,且每种选法等可能,又事件B相当于:
有一人号码为5,其余2人号码小于5,选法有种
11.[七]某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶。
在搬运中所标笺脱落,交货人随意将这些标笺重新贴,问一个定货4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆顾客,按所定的颜色如数得到定货的概率是多少?
记所求事件为A。
在17桶中任取9桶的取法有种,且每种取法等可能。
取得4白3黑2红的取法有
故
12.[八]在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个。
(1)求恰有90个次品的概率。
记“恰有90个次品”为事件A
∵在1500个产品中任取200个,取法有种,每种取法等可能。
200个产品恰有90个次品,取法有种
(2)至少有2个次品的概率。
记:
A表“至少有2个次品”
B0表“不含有次品”,B1表“只含有一个次品”,同上,200个产品不含次品,取法有种,200个产品含一个次品,取法有种
∵ 且B0,B1互不相容。
∴
13.[九]从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?
记A表“4只全中至少有两支配成一对”
则表“4只人不配对”
∵从10只中任取4只,取法有种,每种取法等可能。
要4只都不配对,可在5双中任取4双,再在4双中的每一双里任取一只。
取法有
15.[十一]将三个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别是1,2,3,的概率各为多少?
记Ai表“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3,
三只球放入四只杯中,放法有43种,每种放法等可能
对A1:
必须三球放入三杯中,每杯只放一球。
放法4×
3×
2种。
(选排列:
好比3个球在4个位置做排列)
对A2:
必须三球放入两杯,一杯装一球,一杯装两球。
放法有种。
(从3个球中选2个球,选法有,再将此两个球放入一个杯中,选法有4种,最后将剩余的1球放入其余的一个杯中,选法有3种。
对A3:
必须三球都放入一杯中。
放法有4种。
(只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种)
16.[十二]50个铆钉随机地取来用在10个部件,其中有三个铆钉强度太弱,每个部件用3只铆钉,若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率是多少?
记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。
法一:
用古典概率作:
把随机试验E看作是用三个钉一组,三个钉一组去铆完10个部件(在三个钉的一组中不分先后次序。
但10组钉铆完10个部件要分先后次序)
对E:
铆法有种,每种装法等可能
对A:
三个次钉必须铆在一个部件上。
这种铆法有〔〕×
10种
法二:
用古典概率作
把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列,顺次钉下去,直到把部件铆完。
(铆钉要计先后次序)
铆法有种,每种铆法等可能
三支次钉必须铆在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上,…或“28,29,30”位置上。
这种铆法有种
17.[十三]已知。
解一:
注意.故有
P(AB)=P(A)-P(A)=0.7-0.5=0.2。
再由加法定理,
P(A∪)=P(A)+P()-P(A)=0.7+0.6-0.5=0.8
于是
18.[十四]。
由
由乘法公式,得
由加法公式,得
19.[十五]掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用两种方法)。
(方法一)(在缩小的样本空间SB中求P(A|B),即将事件B作为样本空间,求事件A发生的概率)。
掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x,y)(x,y=1,2,3,4,5,6)并且满足x,+y=7,则样本空间为
S={(x,y)|(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}
每种结果(x,y)等可能。
A={掷二骰子,点数和为7时,其中有一颗为1点。
故}
方法二:
(用公式
S={(x,y)|x=1,2,3,4,5,6;
y=1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能
A=“掷两颗骰子,x,y中有一个为“1”点”,B=“掷两颗骰子,x,+y=7”。
则,
故
20.[十六]据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:
P(A)=P{孩子得病}=0.6,P(B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5,P(C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。
求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
所求概率为P(AB)(注意:
由于“母病”,“孩病”,“父病”都是随机事件,这里不是求P(|AB)
P(AB)=P(A)=P(B|A)=0.6×
0.5=0.3,P(|AB)=1-P(C|AB)=1-0.4=0.6.
从而P(AB)=P(AB)·
P(|AB)=0.3×
0.6=0.18.
21.[十七]已知10只晶体管中有2只次品,在其中取二次,每次随机地取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率。
(1)二只都是正品(记为事件A)
用组合做在10只中任取两只来组合,每一个组合看作一个基本结果,每种取法等可能。
用排列做在10只中任取两个来排列,每一个排列看作一个基本结果,每个排列等可能。
法三:
用事件的运算和概率计算法则来作。
记A1,A2分别表第一、二次取得正品。
(2)二只都是次品(记为事件B)
(3)一只是正品,一只是次品(记为事件C)
(4)第二次取出的是次品(记为事件D)
因为要注意第一、第二次的顺序。
不能用组合作,
22.[十八]某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随机的拨号,求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少?
如果已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少?
记H表拨号不超过三次而能接通。
Ai表第i次拨号能接通。
注意:
第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码。
如果已知最后一个数字是奇数(记为事件B)问题变为在B已发生的条件下,求H再发生的概率。
24.[十九]设有甲、乙二袋,甲袋中装有n只白球m只红球,乙袋中装有N只白球M只红球,今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,问取到(即从乙袋中取到)白球的概率是多少?
(此为第三版19题
(1))
记A1,A2分别表“从甲袋中取得白球,红球放入乙袋”
再记B表“再从乙袋中取得白球”。
∵ B=A1B+A2B且A1,A2互斥
∴ P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
=
[十九]
(2)第一只盒子装有5只红球,4只白球;
第二只盒子装有4只红球,5只白球。
先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后从第二盒子中任取一只球,求取到白球的概率。
记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。
C2为“从第一盒子中取得2只白球”。
C3为“从第一盒子中取得1只红球,1只白球”,
D为“从第二盒子中取得白球”,显然C1,C2,C3两两互斥,C1∪C2∪C3=S,由全概率公式,有
P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D|C3)
26.[二十一]已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者。
今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?
A1={男人},A2={女人},B={色盲},显然A1
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- 概率论 数理统计 浙大 习题 答案 第一章
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