李正元高等数学强化讲义Word格式文档下载.doc
- 文档编号:14335726
- 上传时间:2022-10-22
- 格式:DOC
- 页数:118
- 大小:5.67MB
李正元高等数学强化讲义Word格式文档下载.doc
《李正元高等数学强化讲义Word格式文档下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《李正元高等数学强化讲义Word格式文档下载.doc(118页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
设,则数列{xn}有界,即存在M>0,使得|xn|≤M(n=1,2,3,…).
设则函数f(x)在x=x0的某空心邻域中有界,即存在δ>0和M>0,使得当0<|x-x0|<δ时有|f(x)|≤M.对其他类型的函数极限也有类似的结论.
2求极限的方法
1.极限的四则运算法则及其推广设,则
只要设存在或是无穷大量,上面的四则运算法则可以推广到除“”,“”,“0·
∞”,“∞-∞”四种未定式以外的各种情形.即:
1°
设,则.()又B≠0,则.2°
设,当x→x0时局部有界,(即,使得时),则.
设,当x→x0时|g(x)|局部有正下界,(即$δ>0,b>0使得0<|x-x0|<δ时|g(x)|≥b>0),则.
3°
设,,则,又$δ>0使得0<|x-x0|<δ时f(x)g(x)>0,则.
4°
设,x→x0时g(x)局部有界,则(无穷小量与有界变量之积为无穷小.)
2.幂指函数的极限及其推广
设
只要设存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞”,“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形.这是因为仅在这三个情况下是“0·
∞”型未定式.
1°
设=0(0<|x-|<δ时f(x)>0),,则
2°
设=A>0,A≠1,=+∞,则
设=+∞,,则
【例1】设
【分析】
【例2】设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且则必有
(A)an<bn对任意n成立.(B)bn<cn对任意n成立.
(C)极限不存在.(D)不存在.
用相消法求或型极限
【例1】求
【解】作恒等变形,分子、分母同乘
.
【例2】求
【解】作恒等变形,分子、分母同除得
利用洛必达法则求极限
【例1】设f(x)在x=0有连续导数,又
求.
【例2】求.
【例3】求.
【例4】求.
【例5】若,则.
【例6】求.
【例7】设a>0,b≠0为常数且,则(a,b)=__________.
【分析】∞-∞型极限.
因此(a,b)=.
分别求左、右极限的情形,分别求的情形
【例1】设,求.【例2】求
利用函数极限求数列极限
【例1】求.【例2】求.
【解1】
转化为求
【解2】用求指数型极限的一般方法.
转化为求
(等价无穷小因子替换),余下同前.
3无穷小和它的阶
1.无穷小、极限、无穷大及其联系
(1)无穷小与无穷大的定义
(2)极限与无穷小,无穷小与无穷大的关系
其中
o
(1)表示无穷小量.
在同一个极限过程中,u是无穷小量(u≠0)Þ
是无穷大量.反之若u是无穷大量,则是无穷小量.
2.无穷小阶的概念
(1)定义同一极限过程中,a(x),b(x)为无穷小,
设
定义设在同一极限过程中a(x),b(x)均为无穷小,a(x)为基本无穷小,若存在正数k与常数使得称b(x)是a(x)的k阶无穷小,特别有,称x→x0时b(x)是(x-x0)的k阶无穷小.
(2)重要的等价无穷小
x→0时sinx~x,tanx~x,㏑(1+x)~x,ex-1~x;
ax-1~xlna,arcsinx~x,
arctanx~x;
(1+x)a―1~ax,1―cosx~.
(3)等价无穷小的重要性质
在同一个极限过程中
若a~b,b~gÞ
a~g.
a~bÛ
a=b+o(b)
在求“”型与“0·
∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换
【例1】求.
【例2】设.
【分析】由已知条件及
.又在x=0某空心邻域f(x)≠0Þ
,又3x-1~xln3.于是
.
【例3】设x→a时a(x),b(x)分别是x-a的n阶与m阶无穷小,又,则x→a时
(1)a(x)h(x)是x-a的__________阶无穷小.
(2)a(x)b(x)是x-a的__________阶无穷小.
(3)n<m时,a(x)±
b(x)是x-a的__________阶无穷小.
(4)n>m时是x-a的__________阶无穷小.
(5)k是正整数时,ak是x-a的__________阶无穷小.
以上结论容易按定义证明。
例如,已知,Þ
f(x)g(x)是x-a的n+m阶无穷小.
【例4】设f(x)连续,x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小,求证:
是x-a的n+1阶无穷小.
【例5】x→0时,是x的________阶无穷小;
是x的_________阶无穷小;
是x的_________阶无穷小,是x的_________阶无穷小.
【例6】x→0时,下列无穷小中()比其他三个的阶高,
(A)x2(B)1-cosx(C)(D)x-tanx
【例7】当x→0时,与比较是()的无穷小.
(A)等价(B)同阶非等价
(C)高阶(D)低阶
4连续性及其判断
1.连续性概念
(1)连续的定义:
函数f(x)满足,则称f(x)在点x=x0处连续;
f(x)满足(或,则称f(x)在x=x0处右(或左)连续.
若f(x)在(a,b)内每一点连续,则称f(x)在(a,b)内连续;
若f(x)在(a,b)内连续,且在x=a处右连续,在点x=b处左连续,则称f(x)在[a,b]上连续.
(2)单双侧连续性
f(x)在x=x0处连续Û
f(x)在x=x0处既左连续,又右连续.
(3)间断点的分类:
设f(x)在点x=x0的某一空心邻域内有定义,且x0是f(x)的间断点.
若f(x)在点x=x0处的左、右极限f(x0-0)与f(x0+0)存在并相等,但不等于函数值f(x0)或f(x)在x0无定义,则称点x0是可去间断点;
若f(x)在点x=x0处的左、右极限f(x0-0)与f(x0+0)存在但不等,则称点x0是跳跃间断点:
它们统称为第一类间断点.
若f(x)在点x=x0处的左、右极限f(x0-0)与f(x0+0)至少有一个不存在,则称点x0为第二类间断点.
2.函数连续性与间断点类型的判断:
若f(x)为初等函数,则f(x)在其定义域区间D上连续,即当开区间(a,b)Ì
D,则f(x)在(a,b)内连续;
当闭区间[c,d]Ì
D,则f(x)在[c,d]上连续.若f(x)是非初等函数或不清楚它是否为初等函数,则用连续的定义和连续性运算法则(四则运算,反函数运算与复合运算)来判断.当f(x)为分段函数时,在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性.
判断f(x)的间断点的类型,就是求极限.
3.有界闭区间[a,b]上连续函数的性质:
最大值和最小值定理:
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,则存在ξ和ηÎ
[a,b],使得
f(ξ)≤f(x)≤f(η),(a≤x≤b)
有界性定理:
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,则存在M>0,使得
|f(x)|≤M,(a≤x≤b)
介值定理:
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),则对f(a)与f(b)之间的任意一个数c,在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=c
推论1(零值定理):
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=0
推论2:
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且m和M分别是f(x)在[a,b]上最小值和最大值,若m<M,则f(x)在[a,b]上的值域为[m,M].
【例1】函数在下列哪个区间内有界.
(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).
【分析一】这里有界.只须考察,g(x)是初等函数,它在定义域(x≠1,x≠2)上连续,有界闭区间上连续函数有界,[-1,0]Ì
定义域,g(x)在[-1,0]有界,选(A).
【分析二】设h(x)定义在(a,b)上,若或,则h(x)在(a,b)无界.因,Þ
在(0,1),(1,2),(2,3)均无界.选(A).
【例2】设,
讨论y=f(g(x))的连续性,若有间断点并指出类型.
【分析与解法1】先求f(g(x))的表达式.
Þ
在(-∞,1),(1,2),(2,5),(5,+∞),f(g(x))分别与初等函数相同,故连续.x=2或5时可添加等号,左、右连接起来,即左连续又右连续Þ
f(g(x))在x=2或5连续.x=1时
Þ
x=1是f(g(x))的第一类间断点(跳跃间断点).
【分析与解法2】不必求出f(g(x))的表达式.
g(x)的表达式中,x=2或5处可添加等号,左、右连接起来Þ
g(x)在(-∞,+∞)处处连续.
,u≠1时连续.
u=g(x)=1Û
x=1
因此,x≠1时由连续函数的复合函数是连续的Þ
f(g(x))连续.x=1时
x=1是f(g(x))的第一类间断点.
第二讲一元函数微分学的概念、计算及简单应用
二、重点考核点
这部分的重点是
①导数与微分的定义、几何意义,讨论函数的可导性及导函数的连续性,特别是分段函数,可导与连续的关系.
②按定义或微分法则求各种类型函数的一、
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 李正元 高等数学 强化 讲义