全国卷理1Word格式.docx
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全国卷理1Word格式.docx
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A.B.
B.C.D.
B
,故=
本题考察集合与简单不等式的综合,及集合的交并补运算,易。
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
A
设原经济收入为A,建设后的经济收入为2A,种植收入原来为0.6A,建设后的种植收入为0.74A,故种植收入增加,A错。
本题考察概率,难度易。
4.记为等差数列的前项和,若,,则
A.-12B.-10C.10D.12
,即18+9d=12+7d,d=-3,所以
本题考查等差数列的求和公式,和数列的通项,难度易。
5.设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为
A.B.C.D.
D
为奇函数,,所以,,由点斜式得
本题考察函数奇偶性,及利用导数求切方程。
6.在中,为边上的中线,为的中点,则=
考察平面向量线性运算,难度易。
7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到的路径中,最短路径的长度为
B.D.
由三视图知,点A对应长方形DEFG中得D点,B为EF上靠近E点的四等分点,则AB最短距离为
考察空间几何体的三视图,难度中等。
8.设抛物的焦点为,过点且斜率为的直线与交于,两点,则
设直线方程为,联立抛物线与直线方程可得:
,设,,可求得,,由可得,
本题考查平面解析几何和平面向量的坐标运算,难度中等。
9.已知函数,若存在2个零点,则的取值范围是
由题意可知,只需满足与图像有两个交点。
通过上下平移的图像,可得。
本题考查函数的零点问题,难度中等。
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边,,的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,
Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为,,,则
设
本题考查概率问题,难度简单。
11.已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为.若为直角三角形,则
A.B.3C.D.
由题意可知过点的直线与渐近线垂直。
可得
所以直线为.与两条渐近线联立可得点坐标分别为。
两点间的距离
本题考查圆锥曲线问题,难度中等。
12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】画出正方体,易证平面平面且截面和截面的面积相等;
根据对称性知:
与正方体对角线垂直的截面面积最大的截面时分别过棱的中点的截面;
该截面时边长为的正六边形,故其体积为,故选A
【点评】此题立体几何的数形结合,对考生要求较高.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若满足约束条件则的最大值为_________.
【答案】
【解析】根据题目已知,画出线性约束区域,将目标函数化成,由平移得在点截距最大,则目标函数最大值为6.
【点评】考察线性规划基本内容,易。
14.记为数列的前项和,若,,则_________.
【答案】-63
【解析】,当时,,则;
当时,,,所以
数列是一个以-1为首项,2为公比的等比数列,所以
【点评】难度易,本题考察由求。
15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有一位女生入选,则不同的选法共有_________种(用数字填写答案).
16
记“至少由1位女生入选”的情况为事件A,则A的选法有
本题考察排列组合的基本内容。
16.已知函数,则的最小值是_________.
【解析】由题意知为的一个周期,,令可得或,此时为,或,最大值或最小值只能在为,或和边界点处取得,所以最小值为。
【点评】本题考察三角函数恒等变换,涉及导数法求函数区间最值,属于中档题。
3、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
在平面四边形中,.
(1)求;
(2)若,求.
【解析】
(1)在中,由正弦定理得,
(2)在中,由正弦定理得
【点评】本题重点考查正余弦定理,属于基本题,难度系数比较小。
18.(12分)
如图,四边形为正方形,分别为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.
(1)证明:
平面平面;
(2)求与平面所成角的正弦值.
(1)略
(2)
(1)四边形为正方形,分别为的中点
又
(2)设
如图建系,
设平面,与平面所成角为
【点评】第一问考查立体几何中面面垂直的正面,属于常规题,难度系数较小。
第二问考查线面夹角问题,需要建立直角坐标系,难点是对勾股定理的应用,难度系数中等。
19.(12分)
设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为
(1)当与轴垂直时,求直线的方程;
(2)设为坐标原点,证明:
.
(1)或者
(2)略
(1)当与轴垂直时,的方程为
联立方程组
或
或者
的方程为或者
即:
(2)由
(1)可知当与轴垂直即斜率不存在时,,所以;
当斜率为0时,=
当斜率存在且不为零时,设为,则的直线方程为
联立方程:
设
所以;
综上可知
【点评】难度中等,常规题目,两点斜率,圆锥曲线角度问题。
20.(12分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品。
检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验。
设每件产品为不合格品的概率都为,且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点;
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以
(1)中确定的作为的值,已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品做检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为,求;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
(1)
(1)由题意可知20件产品满足二项分布
所以20件产品中恰有2件不合格品的概率为
令,令
所以:
在区间单调递增,在区间单调递减
在即处取得最大值,即。
(2)(i)由题意可知剩余180件中每件产品是次品满足二项分布,所以次品个数满足:
元。
(ii)若剩余的产品都做检验,则检验费用和赔偿费用的期望为400元
所以应该对这箱余下的产品作简要。
【点评】常规题目,考察导数的极值最值,二项分布的期望,难度中等。
21.(12分)
已知函数。
(1)讨论的单调性;
(2)若存在两个极值点,证明:
。
(1)
令
1时,在区间单调递减;
2或
令
当时,,在区间单调递减;
当时,,在区间单调递减,在区间单调递增,在区间单调递减。
综上:
当时,在区间单调递减;
当时,在区间单调递减,在区间单调递增,在区间单调递减。
(2)由
(1)可知若存在两个极值点,则有,不妨令
且有
若证
即证:
所以在区间单调递减
所以
得证。
【点评】中等难度,函数的单调性,韦达定理,证明不等式。
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如题多做,则按所需的第一题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线的方程为以以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
(1)求的直角坐标方程;
(2)若与有且仅有三个公共点,求的方程.
(2)
(1),,化简得:
(2)时,的方程为;
时,的方程为
与有且仅有三个公共点,易得时,的方程为与圆相切。
则圆心到直线的距离等于半径,解得(舍去)或,故的方程为:
【点评】本题第一问考查极坐标方程与直角坐标方程,属于基础题;
第二问考查考察直线与圆的数形结合问题,难度适中。
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
已知.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时不等式成立,求的取值范围.
(1)解集为
(2)
(1)当时,
当时,不成立,
当时,,
解集为
(2)若
,恒成立
恒成立
最小值
【点评】第一问考查绝对值函数不等式,易错点是分类讨论,属于常规题,那难度系数较小。
第二问考查求参数范围及恒成立类型题,难度系数中等。
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