极坐标与参数方程知识点总结.docx
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极坐标与参数方程知识点总结
第一某些:
坐标系与参数方程
【考纲知识梳理】
1.平面直角坐标系中坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换作用下,点相应到点,称为平面直角坐标系中坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系概念
(1)极坐标系
如图
(1)所示,在平面内取一种定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一种长度单位,一种角度单位(普通取弧度)及其正方向(普通取逆时针方向),这样就建立了一种极坐标系.
注:
极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内点与坐标能建立一一相应关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点与点M距离|OM|叫做点M极径,记为;以极轴为始边,射线为终边角叫做点M极角,记为.有序数对叫做点M极坐标,记作M.普通地,不作特殊阐明时,咱们以为可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它极坐标为。
和直角坐标不同,平面内一种点极坐标有无数种表达.如果规定,那么除极点外,平面内点可用唯一极坐标表达;同步,极坐标表达点也是唯一拟定.
3.极坐标和直角坐标互化
(1)互化背景:
把直角坐标系原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相似长度单位,如图
(2)所示:
(2)互化公式:
设M是坐标平面内任意一点,它直角坐标是,极坐标是,于是极坐标与直角坐标互化公式如表:
点M
直角坐标
极坐标
互化公式
在普通状况下,由拟定角时,可依照点M所在象限最小正角.
4.常用曲线极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为圆
圆心为,半径为圆
圆心为,半径为圆
过极点,倾斜角为直线
(1)
(2)
过点,与极轴垂直直线
过点,与极轴平行直线
注:
由于平面上点极坐标表达形式不唯一,即都表达同一点坐标,这与点直角坐标唯一性明显不同.因此对于曲线上点极坐标各种表达形式,只规定至少有一种能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表达为等各种形式,其中,只有极坐标满足方程.
二、参数方程
1.参数方程概念
普通地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点坐标都是某个变数函数①,并且对于每一种容许值,由方程组①所拟定点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线参数方程,联系变数变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点坐标间关系方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程互化
(1)曲线参数方程和普通方程是曲线方程不同形式,普通地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果懂得变数中一种与参数关系,例如,把它代入普通方程,求出另一种变数与参数关系,那么就是曲线参数方程,在参数方程与普通方程互化中,必要使取值范畴保持一致.
注:
普通方程化为参数方程,参数方程形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题,核心在于恰本地设参数,如果选用参数不同,那么所求得曲线参数方程形式也不同。
3.圆参数
如图所示,设圆半径为,点M从初始位置出发,按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动,设M,则。
这就是圆心在原点,半径为圆参数方程,其中几何意义是转过角度。
圆心为,半径为圆普通方程是,
它参数方程为:
。
4.椭圆参数方程
以坐标原点为中心,焦点在轴上椭圆原则方程为其参数方程为,其中参数称为离心角;焦点在轴上椭圆原则方程是其参数方程为其中参数仍为离心角,普通规定参数范畴为。
注:
椭圆参数方程中,参数几何意义为椭圆上任一点离心角,要把它和这一点旋转角区别开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在0到范畴内),在其她任何一点,两个角数值都不相等。
但当时,相应地也有,在其她象限内类似。
5.双曲线参数方程
以坐标原点为中心,焦点在轴上双曲线原则议程为其参数方程为,其中。
焦点在轴上双曲线原则方程是其参数方程为,其中
以上参数都是双曲线上任意一点离心角。
6.抛物线参数方程
以坐标原点为顶点,开口向右抛物线参数方程为
7.直线参数方程
通过点,倾斜角为直线普通方程是而过,倾斜角为直线参数方程为。
注:
直线参数方程中参数几何意义:
过定点,倾斜角为直线参数方程为,其中表达直线上以定点为起点,任一点为终点有向线段数量,当点在上方时,>0;当点在下方时,<0;当点与重叠时,=0。
咱们也可以把参数理解为觉得原点,直线向上方向为正方向数轴上点坐标,其单位长度与原直角坐标系中单位长度相似。
【要点名师透析】
一、坐标系
(一)平面直角坐标系中伸缩变换
〖例〗在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换
(1)求点通过变换所得点坐标;
(2)点B通过变换得到点,求点坐标;
(3)求直线通过变换后所得到直线方程;
(4)求双曲线通过变换后所得到曲线焦点坐标。
(二)极坐标与直角坐标互化
〖例2〗在极坐标系中,如果为等边三角形ABC两个顶点,求顶点C极坐标。
(三)求曲线极坐标方程
〖例〗已知P,Q分别在∠AOB两边OA,OB上,∠AOB=,⊿POQ面积为8,求PQ中点M极坐标方程。
(四)极坐标应用
〖例〗如图,点A在直线x=4上移动,⊿OPA为等腰直角三角形,⊿OPA顶角为∠OPA(O,P,A依次按顺时针方向排列),求点P轨迹方程,并判断轨迹形状。
二、参数方程
(一)把参数方程化为普通方程
〖例〗已知曲线C:
(t为参数),C:
(为参数)。
(1)化C,C方程为普通方程,并阐明它们分别表达什么曲线;
(2)若C上点P相应参数为,Q为C上动点,求中点到直线 (t为参数)距离最小值。
(二)椭圆参数方程应用
在平面直角坐标系中,点是椭圆上一种动点,求最大值
解答:
(三)直线参数方程应用
〖例〗过点作倾斜角为直线与曲线交于点,求值及相应值。
解析:
(四)圆参数方程应用
〖例〗已知曲线C参数方程是为参数),且曲线C与直线=0相交于两点A、B
(1)求曲线C普通方程;
(2)求弦AB垂直平分线方程(3)求弦AB长
【感悟高考真题】
1.在极坐标系中,点(2,)到圆圆心距离为()
(A)2(B)(C)(D)
2.在极坐标系中,圆圆心极坐标是()
(A)(B)(C)(D)
3.在直角坐标系xOy中,曲线参数方程为,在极坐标系(与直角坐标系xOy有相似长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线方程为交点个数为______
4.直角坐标系xOy中,曲线参数方程为在极坐标系(与直角坐标系xOy取相似长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线方程为交点个数为___
5.
(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线极坐标方程为=,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线直角坐标方程为.
6.(·陕西高考理科·T15C)直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线:
(为参数)和曲线:
上,则最小值为.
7.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线:
(为参数)和曲线:
上,则最小值为.
8.(.天津高考理科.T11).已知抛物线参数方程为(为参数)若斜率为1直线通过抛物线焦点,且与圆相切,则=________.
9.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为和,它们交点坐标为.
10.
(2)在直角坐标系xOy中,直线方程为x-y+4=0,曲线C参数方程为.(I)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相似长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P极坐标为,判断点P与直线l位置关系;
(II)设点Q是曲线C上一种动点,求它到直线l距离最小值.
11.选修4-4:
坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,求过椭圆(为参数)右焦点,且与直线(为参数)平行直线普通方程。
12.(·新课标全国高考理科·T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C1参数方程为(为参数)M是C1上动点,P点满足,P点轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2方程
(Ⅱ)在以O为极点,x 轴正半轴为极轴极坐标系中,射线与C1异于极点交点为A,与C2异于极点交点为B,求.
13.(·新课标全国高考文科·T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C1参数方程为
(为参数)M是C1上动点,P点满足,P点轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2方程
(Ⅱ)在以O为极点,x 轴正半轴为极轴极坐标系中,射线与C1异于极点交点为A,与C2异于极点交点为B,求.
14.(·辽宁高考理科·T23)(本小题满分10分)(选修4-4:
坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1参数方程为,曲线C2参数方程为.在以O为极点,x轴正半轴为极轴极坐标系中,射线l:
θ=a与C1,C2各有一种交点.当a=0时,这两个交点间距离为2,当a=时,这两个交点重叠.
(I)分别阐明C1,C2是什么曲线,并求出a与b值;
(II)设当=时,l与C1,C2交点分别为A1,B1,当a=-时,l与C1,
C2交点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1面积.
15.极坐标和参数方程(t为参数)所示图形分别是(D)
A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线
16.极坐标方程(p-1)()=(p0)表达图形是
(A)两个圆(B)两条直线(C)一种圆和一条射线(D)一条直线和一条射线
17.在极坐标系(ρ,θ)(0 ≤ θ<2π)中,曲线ρ= 与 交点极坐标为______.
18.已知P为半圆C:
(为参数,)上点,点A坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C弧长度均为。
(I)以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求点M极坐标;
(II)求直线AM参数方程。
【考点模仿演习】
一、选取题
1.已知极坐标平面内点P,则P关于极点对称点极坐标与直角坐标分别为( )
A.,(1,)B.,(1,-)C.,(-1,)D.,(-1,-)
2.在平面直角坐标系xOy中,点P直角坐标为(1,-).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P极坐标可以是( )
A.B.C.D.
3.在直角坐标系xOy中,已知点C(-3,-),若以O为极点,x轴正半轴为极轴,则点C极坐标(ρ,θ)(ρ>0,-π<θ<0)可写为________.
4.过点平行于极轴直线极坐标方程是( )
A.ρcosθ=4B.ρsinθ=4C.ρsinθ=D.ρcosθ=答案:
C
5.曲线参数方程是(t是参数,t≠0),它普通方程是( )
A.(x-1)2(y-1)=1B.y=C.y=+1D.y=-1
6.直线ρcosθ=2关于直线θ=对称直线方程为( )
A.ρcosθ=-2B.ρsinθ=2C.ρsinθ=-2D.ρ=2sinθ
7.已知直线l参数方程为(t为参数),则直线l斜率为( )
A.1B.-1C.D.-
8.直线3x-4y-9=0与圆:
,(θ为参数)位置关系是( )
A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但但是圆心
9.设直线过极坐标系中点M(2,0),且垂直于极轴,则它极坐标方程为________.
10.在极坐标系中,直线ρsin=2被圆ρ=4截得弦长为________.
二、填空题
11.在极坐标系中,直线θ=截圆ρ=2cos(ρ∈R)所得弦长是________.
12.直线2x+3y-1=0通过变换可以化为6x+6y-1=0,则坐标变换公式是________.
13.(皖南八校高三第二次联考)已知平面直角坐标系xOy内,直线l参数方程式为(t为参数),以O
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