高考自主招生数学试题及答案Word下载.docx

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（10）设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转，表示坐标平面关于y轴的镜面反射．用表示变换的复合，先做，再做，用k表示连续k次的变换，则234是（）

（A）4（B）5（C）2（D）2

（11）设数列{an}满足a1=a，a2=b，2an+2=an+1+an．

（Ⅰ）设bn=an+1-an，证明：

若a≠b，则{bn}是等比数列；

（Ⅱ）若（a1+a2+…+an）=4，求a，b的值．

（12）在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC．

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？

（13）已知椭圆的两个焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且椭圆与直线y=x-相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．

（14）一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；

如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为Xn．

（Ⅰ）求EX1；

（Ⅱ）设P（Xn=a+k）=pk，求P（Xn+1=a+k），k=0，1，…，b；

（Ⅲ）证明：

EXn+1=（1-）EXn+1．

（15）（Ⅰ）设f（x）=xlnx，求f′（x）；

（Ⅱ）设0<

a<

b，求常数C，使得取得最小值；

（Ⅲ）记（Ⅱ）中的最小值为ma,b，证明：

ma,b<

ln2．

一.选择题

二.解答题

11.【解】

（1）证:

由,得

令则,所以是以为首项,以为公比的等比数列;

（2）由

（1）可知,

所以由累加法得即

也所以有时,也适合该式;

所以

由于所以解得.

12.【解】

（1）过作直线,交延长线于,如图右.

所以,

也所以有,即

在中,有

即

所以,即

所以.

（2）因为

记,则

当时,

此时取最小值,此时.

故当时,取最小值.

13.【解】设椭圆方程为,因为它与直线只有一个公共点,

所以方程组只有一解,整理得.

所以得.

又因为焦点为,所以联立上式解得

所以椭圆方程为.

（2）若斜率不存在（或为0）时,则.

若斜率存在时,设为,则为.

所以直线方程为.设与椭圆交点坐标为

联立方程化简得.

则

同理可得

因为（当且仅当时取等号）

所以,也所以

所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2.

14.【解】

（1）时,袋中的白球的个数可能为个（即取出的是白球）,概率为;

也可能为个（即取出的是黑球）,概率为,故.

（2）首先,时,第次取出来有个白球的可能性有两种;

第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球（故此时黑球有个）,第次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为

第次袋中有个白球,第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为.这种情况发生的概率为.

故

（3）第次白球的个数的数学期望分为两类:

第次白球个数的数学期望,即.由于白球和黑球的总个数为,第次取出来的是白球,这种情况发生的概率是;

第次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是

故

15.

（1）;

（2）若则显然,当取最小;

若则当取最小.

由

（1）知

记

则令,得

即时,取最小值.

（3）将代入式右边,

等价于

由于时,所以下面只须证明即可.

又令,

则,注意到函数是单调递增的,且

所以.得证.

2012年卓越联盟自主招生数学试题

2013年卓越联盟自主招生数学试题

一、选择题：

（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．）

（1）已知是定义在实数集上的偶函数，且在上递增，则

（A）（B）

（C）（D）

（2）已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点

（A）先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变

（B）先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变

（C）先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变

（D）先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变

（3）如图，在五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为

（A）21（B）24（C）30（D）48

（4）设函数在上存在导数，对任意的，有

，且在上．若

，则实数的取值范围为

（A）（B）（C）（D）

二、填空题：

（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

（5）已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐

近线方程为．

（6）设点在的内部，点，分别为边，的中点，且，

则．

（7）设曲线与轴所围成的区域为，向区域内随机投一点，则该点落

入区域内的概率为．

（8）如图，是圆的切线，是切点，与垂直，垂足是，割线交圆于，且，则（用表示）

三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

（9）（本小题满分13分）

在中，三个内角、、所对边分别为、、．

已知．

（1）求角的大小；

（2）求的最大值．

（10）（本题满分13分）

设椭圆的离心率为，斜率为的直线过点且与椭圆交于两点．

（1）求椭圆方程；

（2）若直线与轴相交于点，且，求的值；

（3）设为椭圆的下顶点，、分别为直线、的斜率，证明对任意的恒

有．

（11）（本题满分15分）

设，

（1）证明：

；

（2）若，证明：

．

（12）（本题满分15分）

已知数列中，，．

（1）若对都成立，求的取值范围；

（2）当时，证明．

答案：

（1）A；

（2）B；

（3）C；

　　（4）B．

（5）；

（6）2；

　（7）；

（8）．

2013大学自主招生模拟试题一

1．把圆x2+（y－1）2=1与椭圆9x2+（y+1）2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为（）

（A）线段（B）不等边三角形（C）等边三角形（D）四边形

2．等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－,用πn表示它的前n项之积。

则πn（n∈N*）最大的是（）

（A）π9（B）π11（C）π12（D）π13

3．存在整数n,使+是整数的质数p（）

（A）不存在（B）只有一个

（C）多于一个,但为有限个（D）有无穷多个

4．设x∈（－，0）,以下三个数α1=cos（sinxπ）,α2=sin（cosxπ）,α3=cos（x+1）π的大小关系是（）

（A）α3<

α2<

α1（B）α1<

α3<

α2（C）α3<

α1<

α2（D）α2<

α1

5．如果在区间[1,2]上函数f（x）=x2+px+q与g（x）=x+在同一点取相同的最小值，那么f（x）在该区间上的最大值是（）

（A）4++（B）4－+

（C）1－+（D）以上答案都不对

6．高为8的圆台内有一个半径为2的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

二.填空题

1．集合{x|－1≤log10<

－，x∈N*}的真子集的个数是．

2．复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·

z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_______．

3．曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是（2,0），曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______．

4．已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．

5．从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。

则不同的染色方法共有_______种．（注：

如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．）

6．在直角坐标平面，以（199,0）为圆心，199为半径的圆周上整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为________．

2013大学自主招生模拟试题二

1．设等差数列{an}满足3a8=5a13且a1>

0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是（）

（A）S10（B）S11（C）S20（D）S21

2．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，…，Z20，则复数Z，Z，…，Z所对应的不同的点的个数是（）

（A）4（B）5（C）10（D）20

3．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（）

（A）1个（B）2个（C）50个（D）100个

4．已知方程|x－2n|=k（n∈N*）在区间（2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）

（A）k>

0（B）0<

k≤

（C）<

k≤（D）以上都不是

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