指对数函数的典型练习题文档格式.doc
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]
解
A
二、求值域
例4、函数的值域是(D)
A、B、C、D、
例5、函数的值域是。
,令,∵,又∵为减函数,∴。
例6、求下列函数的定义域与值域.
(1)y=2;
(2)y=4x+2x+1+1.
(1)∵x-3≠0,∴y=2的定义域为{x|x∈R且x≠3}.又∵≠0,∴2≠1,
∴y=2的值域为{y|y>
0且y≠1}.
(2)y=4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>
0,∴y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·
2x+1=(2x+1)2>
1.
∴y=4x+2x+1+1的值域为{y|y>
1}.
例7、求函数的定义域和值域.
由题意可得,即,
∴,故.∴函数的定义域是.
令,则,
又∵,∴.∴,即.
∴,即.
∴函数的值域是.
评注:
利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响.
三、函数的性质:
奇偶性.
解法一已知函数的定义域为R,则-x∈R
∴f(x)是奇函数.
解法二已知函数的定义域为R
=loga1=0
∴f(x)=-f(x),即f(x)为奇函数.
还是减函数?
并证明.
(2)讨论函数y=loga(ax-1)的单调性其中a>0,且a≠1.
(1)证明方法一f(x)在(0,1)上是增函数.
设任取两个值x1,x2∈(0,1),且x1<x2.
(∵0<x1<x2<1,∴x1-x1x2<x2-x1x2).
∴f(x1)<f(x2)
故f(x)在(0,1)上是增函数.
(2)解由对数函数性质,知ax-1>0,即ax>1,于是,当0<a<1时,函数的定义域为(-∞,0),当a>1时,定义域为(0,+∞).
当0<a<1时,u=ax-1在(-∞,0)上是减函数,而y=logau也是减函数,∴y=loga(ax-1)在(-∞,0)上是增函数.
当a>1时,u=ax-1在(0,+∞)上是增函数,而y=logau也是增函数,∴y=loga(ax-1)在(0,+∞)上是增函数.
综上所述,函数y=loga(ax-1)在其定义域上是增函数.
例10
(1)设0<a<1,实数x、y满足logax+3logxa-logxy=3,
减函数.
+∞)上是减函数.
例11、若f(x)=loga|x+1|在(-1,0)内f(x)>0,则f(x)
A.在(-∞,0)内单调递增
B.在(-∞,0)内单调递减
C.在(-∞,-1)内单调递减
D.在(-∞,-1)内单调递增
D
依题设,f(x)的图象关于直线x=-1对称,且0<a<1.画出图象(略)即知D正确.
例12
已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+lg(x+1),那么当x<0时,f(x)的解析式是
A.-x2-lg(1-x)
B.x2+lg(1-x)
C.x2-lg(1-x)
D.-x2+lg(1-x)
A
设x<0,则-x>0,所以
f(-x)=(-x)2+lg(-x+1)=x2+lg(1-x)=-f(x)
f(x)=-x2-lg(1-x)
三、比较大小
例13图2.8-7分别是四个对数函数,①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx的图像,那么a、b、c、d的大小关系是
[]
A.d>c>b>a B.a>b>c>d
C.b>a>d>c D.b>c>a>d
解选C,根据同类函数图像的比较,任取一个x>1的值,易得b>a>1>d>c.故选C.
例14已知loga3>logb3,试确定a和b的大小关系.
解法一令y1=logax,y2=logbx,∵logax>logb3,即取x=3时,y1>y2,所以它们的图像,可能有如下三种情况:
(1)当loga3>logb3>0时,由图像2.8-8,取x=3,可得b>a>1.
(2)当0>loga3>logb3时,由图像2.8-9,得0<a<b<1.
(3)当loga3>0>logb3时,由图像2.8-10,得a>1>b>0.
解法二由换底公式,化成同底的对数.
∵函数y=log3x为增函数,∴b>a>1.
∵函数y=log3x为增函数,∴0<a<b.
即a>1>b>0.
例15设0<x<1,a>1,且a≠1,试比较|loga(1-a)|与|loga(1+x)|的大小.
解法一求差比大小.
|loga(1-x)|-|loga(1+x)|
∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|
解法二求商比较大小
=|log(1+x)(1-x)|=-log1+x(1-x)
∵(1+x>1,而0<1-x<1)
例16若1<x<2,则(log2x)2,log2x2,log2(log2x)的大小关系是______.
log2(log2x)<(log2x)2<log2x2
四、指对数函数的最值问题:
例17设f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x)
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)f(x)是否存在最大值或最小值?
如果存在,请把它写出来;
如果不存在,请说明理由
(1)1<
x<
p(p>
1);
(2)f(x)=log2[(x+1)(p-x)]=log2[-(x-)2+],
当(p-1)/2£
1,即1<
p£
3时,f(x)无最值;
当1<
(p-1)/2<
p,即p>
3时,f(x)最大值为2log2(p+1)-2,无最小值
例18、已知,求的最小值与最大值。
∵,∴.
则当,即时,有最小值;
当,即时,有最大值57。
例19设不等式2(logx)2+9(logx)+9≤0的解集为M,求当x∈M时函数f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值
解∵2(x)2+9(x)+9≤0
∴(2x+3)(x+3)≤0∴-3≤x≤-
即()-3≤x≤()
∴()≤x≤()-3,∴2≤x≤8
即M={x|x∈[2,8]}
又f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=log22x-4log2x+3=(log2x-2)2-1
∵2≤x≤8,∴≤log2x≤3
∴当log2x=2,即x=4时ymin=-1;
当log2x=3,即x=8时,ymax=0
例20 函数在区间上有最大值14,则a的值是_______.
分析:
令可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后的取值范围.
解:
令,则,函数可化为,其对称轴为.
∴当时,∵,
∴当时,.
解得或(舍去);
当时,∵,
∴,即,
∴时,,
解得或(舍去),∴a的值是3或.
评注:
利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:
换元法,整体代入等.
例21设,求函数的最大值和最小值.
注意到,设,则原来的函数成为,利用闭区间上二次函数的值域的求法,可求得函数的最值.
设,由知,
,函数成为,,对称轴,故函数最小值为,因端点较距对称轴远,故函数的最大值为.
例22已知函数在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值.
.解:
,换元为,对称轴为.
当,,即x=1时取最大值,略
解得a=3(a=-5舍去)
例23已知函数(且)
(1)求的最小值;
(2)若,求的取值范围.
(1),当即时,有最小值为
(2),解得
当时,;
当时,.
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