ZMO第1届质心教育高中数学联赛模拟测试Word格式.docx
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三棱锥S−ABC的体积为
5.将各位数字之和为4的正整数从小到大排列,2020是第个数字.
6.若实数x,y满足4x2−2√3xy+4y2=13,则x2+4y2的取值范围是.
7.设
[x]
表示不超过实数
x的最大整数,求集合
A={n|n=[
k2
1k
2019
⩽2020,k∈
N}的元素个
数
8.质心姐姐与质心哥哥进行游戏,每局质心姐姐的获胜概率为1,质心哥哥的获胜概率为2
。
每局获胜者
33
加一分,输者扣一分。
到达零分时游戏结束,得零分的人出局。
游戏开始时,质心姐姐有4分,质心哥哥
2分。
质心哥哥获胜的概率为.
解答题(第9题16分,第10,11题分别为20分,共56分)
9.对于任意a,b,c,d∈R,a2+b2+c2+d2⩾m(ac+bd+bc)恒成立,求m的最大值.
10.已知椭圆
x2y2
C:
+=1(a>
b>
0)
a2b2
,动点P满足
PA,PB
分别与
C
相切,且
PA⊥PB
,求证
P
点轨迹是以O为圆心,半径为√a2+b2的圆.
11.已知
sinα+sinβ+sinγ=√3
cosα+cosβ+cosγ=√2
cos2α+cos2β+cos2γ=−1
,求sin2α+sin2β+sin2γ和tan(α+β+γ).
质心教育高中数学联赛模拟二试
考试时间150min
解答题(第1,2题分别40分,第3,4题分别50分,共180分)
1.设n是大于1的正整数,a1,a2,·
·
an是实数.证明:
n
3
k=1
2
(2k−n−1)ak
n2−1
∑i=1
ai)
2n
⩽n
i=1
a2.
2.9名同学参加质心数学活动时被分到同一个组,他们任两个人或者之前认识,或者之前不认识。
证明:
这
9名同学中,要么存在四人两两互相认识,要么存在三个人两两互相不认识.
3.△ABC的边AC的中点为D,△ABD的外接圆为Ω。
D做AB的平行线与Ω交于E。
△EDC的外接圆为ω。
试证明:
D关于ω的切线,EA关于Ω的切线三线共点.
4.若整数a,b,c满足:
对任意正整数n,存在整数x,y,z使得ax2+by2+cz2=n成立.求mina,b,c
的最大可能值.
质心教育高中数学联赛答题纸
省份
年级
学校.
姓名.
QQ.
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
二试1.
二试2.
二试3.
二试4.
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