22苏教版高中数学必修Ⅳ教案134 三角函数的应用教案2Word文档格式.docx

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题型探究

常见的三角函数模型的生活背景有:

1.物理情景——①简单和谐运动②星体的环绕运动

2.地理情景——①气温变化规律②月圆与月缺

3.心理、生理现象——①情绪的波动②智力变化状况

③体力变化状况

4.日常生活现象——①涨潮与退潮②股票变化

例1如图2所示,弹簧挂着的小球做上下振动,

它在时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度

由下列关系式决定:

.

以为横坐标,为纵坐标,画出这个函数在长度

为一个周期的闭区间上的简图,并且回答下列问题:

（1）小球在开始振动时（即时）的位置在哪里?

（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的位移分别是多少?

（3）经过多少时间小球往复振动一次（周期）?

（4）每秒钟小球能够振动多少次（频率）?

（1）当时,,即上平衡位置上方处.

（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别为.

（3）经过小球往复振动一次.

（4）每秒钟小球振动的次数为次.

练习1.弹簧振子的振动是简谐运动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间与位移之间的对应数据,试根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式.

-20.0

-17.8

-10.1

0.1

10.3

17.1

20.0

17.7

设,

依题意可知,,,∴.

当时,,∴.

∴所求函数的解析式为.

例2心脏在跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值,最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式,其中为血压（mmHg）,t为时间（min）.,

（Ⅰ）求函数的周期;

（Ⅱ）此人每分钟心跳的次数;

（Ⅲ）画出函数的草图;

（Ⅳ）求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值比较.（健康成年人的收缩压和舒张压一般为120~140mmHg和60~90mmHg）

（Ⅰ）;

（Ⅱ）（次）;

（Ⅲ）列表如下:

1

-1

115

140

90

描点作图如图所示:

（Ⅳ）此人的收缩压和舒张压在血压计上的读数为140mmHg和90mmHg.均高于相应的标准值.

练习2.下表是一年中10d（天）的白昼时间.

日期

1月1日

（第1天）

2月28日（第59天）

3月20日（第80天）

4月27日（第117天）

5月6日

（第126天）

小时/h

5.59

10.23

12.38

16.39

17.26

6月20日（第170天）

8月14日（第224天）

9月20日（第260天）

10月25日（第295天）

12月20日（第350天）

19.40

16.34

8.48

5.36

（1）以日期在360d（天）（以每月30天计算）中的位置序号为横坐标,白昼时间为纵坐标,描出这些数据的散点图;

（2）选用一个三角函数来近似描述白昼时间与日期序号之间的函数关系;

（3）用

（2）中的函数模型估计该地10月20日（第290天）的白昼时间.

（1）这些数据的散点图如下图所示:

（2）.

（3）当时,

.

例3海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐,一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,般在涨潮时驶进航道,靠近船坞;

卸货后落潮时近回海洋.下面给出了某港口在某季每天几个时刻的水深.

时刻

0.00

3.00

6.00

9.00

12.00

15.00

18.00

21.00

24.00

水深（米）

5.0

7.5

2.5

（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,并给出在整点时的水深的近似数值;

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m,安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离）,该船何时能进入港口?

在港口能呆多久?

（3）若船的吃水深度为4m,安全间隙为1.5m,该船在2:

00开始卸货,吃水深度以每小时0.3m的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?

分析:

（1）考察数据,可选用正弦函数,再利用待定系数法求解;

（2）在涉及三角不等式时,可利用图象求解.

（用《几何画板》演示港口水位变化情况）观察问题中给出的数据可以看出，港口的水深变化具有周期性．

x

3

6

9

12

15

18

21

24

y

（用《Excel》作图，并用平滑曲线连接）根据表格作出散点图，将所得到的点依次顺势用光滑曲线连接．从曲线的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如的函数来刻画，其中是时间，是水深，根据数据可以具体确定A，，，的值．

在得到函数解析式以后，我们计算出每一个整点时水深的近似值，或计算出水深为某个指定值时所对应的时刻．

1：

00

2：

3：

4：

5：

水深

5.000

6.250

7.165

7.500

6：

7：

8：

9：

10：

11：

3.754

2.835

2.500

13：

14：

15：

16：

17：

18：

19：

20：

21：

22：

23：

（1）可设所求函数为,由已知数据求得,,故.

在整点时的水深为:

1:

00,5:

00,13:

00,17:

00,为6.3m;

2:

00,4:

00,14:

00,16:

00为7.2m;

7:

00,11:

00,19:

00,23:

00为3.7m;

8:

00,10:

00,20:

00,22:

00为2.8m.

（2）由,得,画出的图象（如图所示）,由图象可得或.

故该船在0:

24至5:

36和12:

24至17:

36期间可以进港,在港口能呆5.2h.

（3）若,时刻的吃水深度为,由,

得.

画出和的图象（如图所示）,由图象可知,当时,即6:

42时,该船必颀停止卸货,驶向较深的水域.

小结三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．

我们可以利用收集到的数据作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．

练习3.某港口相邻两次高潮发生时间间隔12h20min,低潮时入口入水的深度为2.8m,高潮时为8.4m,一次高潮发生在10月3日2:

00.

（1）若从10月3日0:

00开始计算时间,选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系;

（2）求10月5日4:

00水的深度;

（3）求10月3日吃水深度为5m的轮船能进入港口的时间.

答案:

（1）.

（2）当时,可以计算得8.24m.

（3）从0时到3时47分,从12时37分到16时7分.

课堂演练

1.如图3是周期为2π的三角函数y=f（x）的图象，

那么f（x）可以写成（）

A.sin（1+x）　B.sin（-1-x）

C.sin（x-1）　D.sin（1-x）

D解析:

由函数图象过点（1,0）可排除AB,又当时函数值为正,

可排除C答案,故应选D.

2.若方程sinx-sin2x-a=0，当时有解，求a的范围.

由已知可得a=-sin2x+sinx=,,

∴.

3.一根长acm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式是s=3cos（.

（Ⅰ）求小球摆动的周期;

（Ⅱ）已知g=980cm/s2,要使小球摆动的周期是1s,线的长度应当是多少?

（精确到0.1cm,取3.14）

（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

§

1.如图1是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：

（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？

（2）从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了

一次往复运动？

如从A点算起呢？

3.心理、生理现象——①情绪的波动②智力变化状况③体力变化状况

例1如图2所示,弹簧挂着的小球做上下振动,它在时相对于平衡

位置（静止时的位置）的高度由下列关系式决定:

以为横坐标,为纵坐标,画出这个函数在长度为一个周期的闭区间

上的简图,并且回答下列问题:

（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少?

解析:

（1）当时,,即上平衡位置