常微分方程的思想方法及在中学数学中的应用文档格式.doc
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火箭在发动机推动下在空间飞行,要寻求它飞行的轨道,等等。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的,因此,这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。
也就是说,凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值,而是要求一个或者几个未知的函数。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似,也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来,从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。
但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面,都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
在数学上,解这类方程,要用到微分和导数的知识。
因此,凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程,就叫做常微分方程。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的,苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候,就讨论过微分方程的近似解。
牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解。
后来瑞士数学家雅各布·
贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学的其他分支的新发展,如复变函数、李群、组合拓扑学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的影响,当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
牛顿研究天体力学和机械力学的时候,利用了微分方程这个工具,从理论上得到了行星运动规律。
后来,法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。
这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。
常微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法。
微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
1微分方程建模与数学模型方法
方程作为解决实际问题的重要思想方法,历来受到人们的重视,历史上,就有笛卡尔
(Descartas)曾经设想过所谓的“万能方法”:
把任何问题转化为数学问题把任何数学问题转化代数问题把任何代数问题归结为解方程。
尽管笛卡尔的设想最后并未成功,它仍然不失为一个伟大的思想。
而今,随常微分方程建模技术的形成,使方程思想发挥更大作用。
例1:
有一水池,若单独进水24小时可以灌满,若单独放水48小时可以排完1现同时
进水和放水,多少小时可灌满水池?
若设水池容积为V,水池灌满时刻为T,建立中学代数方程:
即T=48(小时)
但实际中,进水可为衡量,而排水却是随水池水位下降流量不断减少。
于是,对于深度为H的水池,单独进满水和排完水时间分别为和,建立微分方程:
即
此时,当=48,=24,则根本无法灌满水。
当然,人们也可以从现实世界中的问题出发,直接通过实验或观察,从而获得现实世界的解。
但是这样做往往是行不通的,或者由于花费昂贵,只好作罢。
所以制胜的办法是通过数学模型,走一条迂回的道路。
建立和处理数学模型的过程,就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。
因此,它是
当今“大众数学”观下的“问题解决”的重要工具。
例2:
一条公路通过一个工厂地区,七个工厂(i=1,2,,7)分布在公路两侧,并与公路相连,现要在公路上建一个长途汽车站P,使车站到各工厂的距离总和最小.(a)这个车站设在什么地方最好?
(b)如果又建一个工厂A8且与公路相连,那么这时车站设在什么地方最好?
这为1978年北京市竞赛题。
由于(i=1,2,,,8)到公路的距离和是定值,因此只须车站P到点(j=1,2,,,5)的距离加权和最小。
现将公路拉成直线,并使点(j=1,2,,,5)位置和其间距离保持不变。
这样,本问题的数学模型是:
一直线上排列的几个点(可重复)与该直线上一动点的距离和的最小值问题。
2Picard逼近法与数学构造
微分方程解的存在唯一性定理,是微分方程最基本的理论,一般都是采用皮卡(Picard)的逼近法。
其核心是对积分方程:
(2.1)
取函数代入(2.1),若其成立,则得到其解;
否则,有新积分方程:
(2.2)
再取函数代入(2.2),若其成立,则得到其解;
否则,取新函数,继续作下去,得到一列函数:
(2.3)
满足积分方程:
(2.4)
如果这列函数一致收敛于一个函数,则就是(2.1)的解。
这种通过巧妙构造函数序列(2.3),采用逐步逼近解决问题的方法,不仅新颖有趣,而且有着广泛的实用价值。
从古代的“割圆木”求圆周率,P,到近代分析中的“e”值求法,都是它典型应用。
例3:
柯西(Cauchy)问题:
求函数方程在R内的单调函数解。
利用数学归纳法,先对自然数n给出结果:
然后给出有理数关系():
再对单调函数,给出实数解:
这种沿整数有理数实数的逼近思想方法,从而获得函数解。
另外,构造法更是活跃在数学领域内。
像分析中的一系列微分中值定理,都是通过构造函数而获证。
例4:
柯西不等式:
当且仅当为一常数时,等号成立。
不等式的结构,与一元二次方程的判别式有关。
因此,可构造二次函数:
.(为一常数等号成立)
必然
即有柯西不等式。
3Euler待定指数函数法与化归思想
对于常系数线性微分方程:
(3.1)
都是采用欧拉(Euler)的待定指数函数法,将方程(3.1)的求解,化归为求代数方程:
(3.2)
从而求得其特解。
其中为方程(3.2)的k重根。
像这样,将微分方程化归为代数方程,不必经过积分运算而间接获得解的方法,都是化
归思想作用的结果。
而这种思想在常微分方程中,比比皆是。
如前面的此卡逼近法,就是将微分方程的解化归积分方程的解化归一致收敛函数序列。
再如对Riccati方程:
,其可积条件是:
,
(为常数、D为函数)。
现设非R氏方程特解(),通过变换
(),
得方程:
的可知条件
.
因此,化归思想是数学家区别于一般科学家的分水岭,是发现问题、分析问题、解决问题,形成数学构思的方法论依据。
例5:
对素数,解整数方程组:
方程的结构,可构造一元二次方程:
,求得其解。
但讨论其解的整数情况,却是麻烦之事。
现将问题化归为素数问题,由知x、y中一数为1,另一数为q,于是由知p=3、q=2,从而方程组解或。
4Lagrang常系数变易法与变元求异思维
对于常系数线性方程:
(4.1)
一般都是采用拉格朗日(Lagrang)的常系数变易法,将方程(4.1)的对应齐次方程的通解:
(为常数,)(4.2)
中的常数变为函数,设其方程(3.1)通解为:
(4.3)
将(4.3)代入方程(4.1),求得其解(函数)。
像这种将“常量”视为“变量”的变无求异思维,在数学发展史上,有着光辉的篇章。
如解析几何产生和微积分的创立,都是变量数学作用的结果。
如在常微分方程中,求函数方程:
的解。
[10]
首先将s视为变量,而将t视为常量,求关于s的导数,并令s=0,得结果:
.
现又将t视为变量,求关于t的积分,得解函数:
。
正是这种t和s所具有的对等性,决定了变量互相替换的局面,如对一阶隐方程:
当讨论形式:
和时,由变量x和y的对等性,
必然考虑形式:
和
又如,由方程(4.1)的齐次方程特解:
(为其特征方程根),则对变系数线性方程特解:
(为待定函数),进行讨论,得到变系数线性方程的特定函数解法。
常系数变易法这种变元求异思维,作为创新的基础,在发明创造中发挥重要作用。
像分析中的微分中值定理的构造法,都是充分应用常系数变易法的结果。
例6设,解关于x的不等式:
此题为1998年全国高考题1现取函数,将常数,视为自变量,x视为常数
则
这正是凸函数的性质,即当时,不等式成立.但对中学生,不妨将不等式变形
为:
于是,利用定比分点公式,很容易求得结果1
5Laplace变换法与RMT原则
常系数线性方程:
5.1
的初值:
5.2
问题,通常采用拉普拉斯(Laplace)变换求解.L氏换法解方程的具体过程,可显示为:
关于y的常系数线性方程
|
像这样,对于给定一个含有目标原像的关系结构L[y]=0,如果能找到一个可定映映
射,将L[y]=0映满Y(s)=0,并可以通过一定的数学方法把目标像
确定出来,进而通过反演,又把)确定出来,使原问题得到解决.这种通
过关系)映射)定映)反演,解决问题的方法,被我国数学方法论专家徐利治教授,称为关
系(Relationship)映射(Mapping)反演(Inversion)原则,简称为RMI原则.
自RMI原则提出,受到人们普遍重视,尽管它为一种特殊的化归,由于关系映射的确
定性,很容易建立化归模型1
常微分方程中的变换解法,都是RMI原则的结果1如对二阶变系数线性方程:
d,取变换为待,即通过映射有关于的Riccati方程:
.若从Riccati方程中求得特解,又通过反演关系,求得原方程的解,此时,再
取变换,则有关于Z的方程,于是
有解,最后通过反演求得方程的
解。
中学数学中的幂函数!
指数函数!
对数函数!
三角函数都是实现RMI化归的有力工具。
例7:
求函数2的极小值
此题为1987年全国首届大学生夏令营问题1若用高等数学求解,其过程并不简单1
现将数对和射映到xoy平面直角坐标系上两点,则它们分别在
曲线(y>
0)和上1由对称性,知当x=y时,两曲线间的距离有极小值1再将曲线的极小点反演为数对,得u=1,v=3,于是求得
6Riccati方程变元法与不变量关系
对于黎卡堤(Riccati)方程:
(6.1)
1841年,刘维尔(Liouville)证明方程(6.1),一般无初等解。
使人们对微分方程的研究的重心转移到定性理论上。
1998年以来,笔者对R氏方程所取得的结果[7~8],在1999年国际微分方程学术研讨会上,引
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- 微分方程 思想 方法 中学数学 中的 应用