导数在中学数学中的应用论文Word格式文档下载.doc
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2012年4月5日
邱金益
摘要:
导数的应用将随着新课程的改革而显得越来越重要,它渗透到中学数学的各个领域。
导数可以用极限概念定义。
微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的分支学科,导数相关的一些微积分知识,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识研究函数的性质,解决几何、切线、函数的单调区间、数列极限有关的问题,同时解决实际问题也有重要的应用。
导数是我们研究中学数学的一个有力工具,它使各个章节的内容联系的更加紧密,有助于我们对中学数学的深入学习。
关键词:
导数、函数、方程、切线、数列
Abstract:
Theapplicationofthederivativeofthenewcurriculumreformwillbewithandbecomemoreandmoreimportant,itthroughtothemiddleschoolmathematicseveryfieldofthederivativecanuselimitconceptdefinitionofdifferentialcalculusisresearchfunctionintegrationandrelatedconceptsandapplicationsofthebranch,derivativerelevantsomecalculusknowledge,istosolvepracticalproblemspowerfulmathematicaltool,usingderivativesknowledgeaboutthestudyofthenatureofthefunction,solvethemonotonyoftangentfunctiongeometrysequencelimitoftheintervaland,atthesametime,solvingactualproblemsalsohasimportantapplicationofderivativeisourmiddleschoolmathematicsstudyofapowerfultool,itmakethecontentofthechaptersofthecontactmoreclosely,canhelpustothemiddleschoolmathematicsfurtherstudy
Keywords:
derivativefunctionequationtangentsequence.
1.利用导数求不定式的极限
(,)型不定式的定值。
导数对于极限问题,尤其是(,)型不定式的题目即无穷小之比等于相应的导数之比(洛必达法则)。
例:
(1)
分析:
首先我们一下极限的分子()和分母()都趋于零,即:
,,因此极限为()型。
所以我们对分子分母进行求导。
解:
原试===1
(2)
分析:
首先我们一下极限的分子()和分母()都趋于无穷,即:
无穷大之比等于相应的导数之比,所以我们对分子分母进行求导。
解:
原试====0
2.导数在函数中的应用
2.1利用导数图形分析函数的图像。
设是的导函数,的图象如图所示,则的图象可能是()。
我们首先来看的图象在或的区域上,那么在或的定义域上是增函数;
在上函数是减函数;
那么我们看选项只有:
O
1
2
x
y
A
B
C
D
2.2求函数的单调区间
设,求函数的单调区间。
要求函数的单调区间,我们可以用求导的方法,令函数的导数为增函数,求出的解为增区间,令为减函数,求出的解为减区间。
当时为增函数
即:
解得:
或为增区间。
当时为减函数。
同理可得:
为减区间。
2.3求函数的极值和最值问题
极值和最值问题是中学数学的重点、难点,它涉及到中学数学知识的各个方面,处理次类问题往往需要较高的思维能力和技能,而用导数处理这类问题使得解题过程程序化、简单化。
求函数的极值。
要求一个函数的极值,我们先求出函数的驻点,在对驻点进行比较,就可以知道极值。
令
解得:
(驻点)
又
在驻点处的二阶导数值分别为:
,
所以:
,原函数在处取得极大值
,原函数在处取得极小值
已知函数,是的极值点,求在
[1,a]上的最大值。
由函数导可得
是的极值点,
所以有,得
所以
令,解得(舍去),则
(1,3)
3
(3,4)
4
—
+
-6
-18
-12
所以在[1,4]上的最大值为。
2.4利用导数求参数取值范围
含参数的导数问题是函数的重点和难点,此类问题通常涉及到最值和恒成立的问题,要求我们在求解中,分类讨论、数形结合、分离参数等基本思想的灵活应用.含参数的导数问题往往涉及对参数的讨论。
我们例题来分析。
已知函数(a为常数),若存在,使成立,则实数a的取值范围是
参数a可以比较方便的用含x的函数来表示,因此想到分离参数,转化为存在性问题,进而转化为最值问题.需意识到在恒成立;
在对的讨论中,需对其部分分子进行在区间的值域分析,得出在恒成立.从而得出在恒成立.
则:
令,则,
在单调递增,
,即在恒成立.
故存在,使.
令,即,下求在的最小值.
令,
则,,
故是函数的极小值点,也是最小值点.
∴,即在恒成立.
故在恒成立.∴在单调递增.
∴
以函数为主体,以导数作为解题思路,以函数的性质和导数应用为目标,是函数与导数交汇试题的显著特点.运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题,主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围.解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想,通过分离参数、分类讨论等思维方法进行求解.而求解策略的恰当选择,取决于求解视角是否准确.
3.导数在不等式恒等问题中的应用
当时,证明不等式成立。
证明可以构造函数
如果,则在上是减函数,同时若由减函数的定义可知,时,有即证明了。
证明:
设
又∵
∴
∴在内单调递减且
∴故当时,成立。
4.利用导数研究方程的根.
利用导数研究方程根的问题,不但使解题过程变得简捷,而且还可以提高同学们对新题型的适应能力。
关于的方程有三个不同的实数根,则的取值范围是( )
A、(-∞,-1]B、(-1,5)C、(1,5)D、(-∞,1]∪[5,+∞)
首先设.求出函数的导数,然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间,再分析可知图象的大致形状及走向,可知函数图象的变化情况,可知方程有三个不同的实根,求得实数的范围.
原方程化为:
令,解得:
或。
,解得:
∴)在取极大值4,在时取极小值-2.
根据的大致图象的变化情况,有三个不同的实数解时,
-2<<4
解得a的取值范围是-1<<5.
故选B.
5.导数思想在解析几何中的一个简单应用
过点作抛物线的切线,求切线方程
设切点由得,
抛物线在点处的切线斜率为
故所求切线方程为即
点在切线上
,,
所求切线方程为,。
求二次曲线切线问题的常规方法是点斜式设直线方程,与抛物线联立,求出斜率,写出直线方程。
而通过上述例题可以看到,使用常规方法会非常麻烦。
而采用求导的方法就简捷很多。
当然,导数在解析几何中的应用不仅于此。
笔者在这里只想起到一个抛砖引玉的作用,欢迎其他同仁批评指正。
6.导数在数列中的应用
已知,求的前n项和。
我们的通常会想到等比数列、错位相减求,但是增加了计算的难度,我们主要仔细观察字母的系数和指数相差1,幂的导数刚好就是这样的形式,所以我们把看成幂()的前n项的和的导数
解:
令
7.导数在实际问题中的应用
正在生产生活中,常常会遇到在一定条件下使得利润最大、效率最高、用料最省、强度最大等问题,这些问题称为优化问题.优化问题往往可归结为求函数的最大值或最小值问题,而导数是求最值的有力工具,因此,熟练应用导数解决实际应用问题就非常重要.用导数解决优化问题的基本思路是认真分析实际问题,然后将其转化为数学问题,再用导数求解这个数学问题.
7.1成本问题。
在甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?
设∠BCD=,则BC=,CD=,(0<<),
∴AC=50-甲
设总的水管费用为,依题意有:
河ACD
=乙B
令,解得:
根据问题的实际意义,当时,函数取得最小值,
此时,所以:
∴AC=50-40=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20km处,可使水管费用最省.
7.2制作容器。
在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?
最大容积是多少?
设箱底边长为cm,则箱高为cm,得箱子容积是箱底边长的函数,从而求得,令,求出一个值,这个值就是使容器的容积达到最大。
设此时底边的边长是,则高
,()
则
令:
,解得:
所以箱底的边长为40cm时,箱子的容积最大,最大容积是16000cm³
这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是三次函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求三次目标函数的最值就变得非
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- 导数 中学数学 中的 应用 论文