20VAR模型2Word文件下载.docx
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=0-I=
-I=1+2+…+k-I,
正确地估计协整参数矩阵的秩r非常重要。
若r被正确估计,则所有误差修正项都是平稳的。
那么模型(8.61)中的所有项都是平稳的。
参数估计量具有一致性。
任何高估或低估r值都会给参数估计与推断带来错误。
当低估r值时,将导致把余下的误差修正项并入模型的随机误差项Ut。
而高估r值将会把非协整向量带入协整参数矩阵中。
N´
1阶的Yt-k将由I(0)项(协整向量与变量的积)和I
(1)项(非协整向量与变量的积)混合而成,从而导致回归参数估计量及其相应统计量的非正态性分布。
当用t检验临界值进行显著性检验时就会得出错误结论。
估计的第一步是用样本数据Yt,(t=-k+1,-k+2,…,0,1,2,…,T)确定协整参数矩阵的秩r。
对于任何r£
N情形,模型(8.61)的零假设是
H0:
rk()r或='
(8.62)
其中和是N´
r阶矩阵。
注意,这一步只能估计r(协整向量个数),无法估计和,因为对VAR模型(8.61)来说,和是“过多参数(over-parameterization)”的,无法与r同时估计。
接下来构造协整检验统计量LR,估计协整向量个数r,进而估计和。
把模型(8.61)看作数据生成系统,且0<
r<
N,Ut~IID(0,)成立,则对数似然函数是
logL(1,…,k-1,,|Y1,…,YT)=-
log
(2)-
log||-
(8.63)
利用上式求关于的集中对数似然函数(concentratedloglikelihoodfunction,见《计量经济分析》第274-277页),即把看作是给定值条件下的对数似然函数。
logL(1,…,k-1,|Y1,…,YT)=C0-
log|
|(8.64)
其中
=
为便于书写,给出如下符号,
Z0t=Yt
Z1t=Yt-1
Z2t=(Yt-1,Yt-2,…,Yt-(k-1),Dt)'
=(1,2,…,k-1,)'
其中Z0t和Z1t是N´
1阶的,列向量Z2t是[N(k-1)+d]´
1阶的,是N´
[N(k-1)+d]阶的。
则(8.61)式
改写为,
Z0t=Z1t+Z2t+ut(8.65)
对集中对数似然函数(8.64)求极大,就是对
求极小。
则估计的OLS正规方程是
Z0t-Z1t-
Z2t)Z2t'
=0[对照
(x2t)=0]
是对(8.65)式中的估计。
破括号、移项上式变为,
Z0tZ2t'
)=
Z1tZ2t'
)+
Z2tZ2t'
)
则
=
)(
)-1-
)[
]-1(8.66)
用
的表达式代替(8.65)式中并整理,
=Z0t-Z1t–
)-1Z2t+
)-1Z2t
=Z0t-
)-1Z2t–[Z1t–
)-1Z2t]
(8.67)
现在考虑如下回归(目的是把上式表达为以为参数的回归式),
Z0t=Z2t+u0t(8.68)
则的OLS估计量
)-1(8.69)
若u0t的估计量用R0t表示,则
R0t=Z0t-
)-1Z2t(8.70)
考虑如下回归,
Z1t=Z2t+u1t(8.71)
)-1(8.72)
若u1t的估计量用R1t表示,则
R1t=Z1t-
)-1Z2t(8.73)
比较(8.67),(8.70)和(8.73)式。
](
)-1Z2t](8.67)
)-1Z2t(8.70)
(8.70)式等号右侧两项是(8.67)式等号右侧第1,2项。
(8.73)式等号右侧两项是(8.67)式等号右侧第3项中括号内部分。
用R0t和R1t分别代替(8.67)式中相应部分,
=R0t-R1t
整理上式,
R0t=R1t+
(8.74)
上式表示残差R0t对R1t回归。
R0t和R1t分别表示Z0t,Z1t在排除Z2t影响以后的残差(见(8.68)和(8.71)式)。
比较(8.74)和(8.65)式,
(8.74)式是排除Z2t影响以后的回归式。
因为对数似然函数对是非约束的,所以可先排除Z2t的影响,进一步求R0t和R1t的关于Z2t的集中对数似然函数log()。
(把Z2t当作给定值的似然函数)
logL()=C0-
logê
T-1
-R1t)(R0t-R1t)'
ê
(8.75)
其中C0是常量。
如果是非约束的,则很容易计算的估计值。
现在感兴趣的是在施加='
约束条件下求(8.61)式中的估计量。
把约束条件='
代入上式和(8.74)式,
LogL(,)=C0-
log|T-1
-'
R1t)(R0t-'
R1t)'
|(8.76)
R0t='
R1t+
(8.77)
先设定不变,通过R0t对'
R1t回归估计
,从而进一步求关于
的集中对数似然函数。
的OLS计算公式是,
(8.78)
定义残差R0t和Rkt的积矩量矩阵Sij如下,
Sij=T-1
i,j=0,1,(8.79)
则(8.78)式表达为,
=S01('
S11)-1(8.80)
代替(8.76)式中的,得
'
R1t
的估计量,(8.76)式中绝对值部分,|T-1
|,的估计量表达为
|
|=|T-1
-
R1t)(R0t-
=|T-1
R0t'
-
R1tR0t'
-R0tR1t'
'
+
R1tR1t'
)'
|
=|S00-
S10-S01
S11
|(8.81)
的表达式(8.80)代换(8.81)式中的,得
|=|S00-S01('
S11)-1'
S10|(8.82)
对集中对数似然函数(8.76)求极大,即对上式求极小。
这种极小化是通过对N´
r阶矩阵的取值来实现的。
依据拉奥(Rao,1973),对于矩阵A,B,C有如下关系存在。
=|A||C-B'
A-1B|=|C||A-BC-1B'
|(8.83)
移项
|A-BC-1B'
|=|C|-1|A||C-B'
A-1B|
令A=S00,B=S01,C='
S11,于是有
|=|S00-S01('
S10|
=|'
S11|-1|S00||'
S11-'
S10S00-1S01|
S11|-1|S00||'
(S11–S10S00-1S01)|(8.84)
因为|S00|是常量,所以对关于的对数似然函数(8.76)求极大即是对|'
S11|-1|'
(S11–S10S00-1S01)|求极小(忽略S00)。
把上述求极小问题再转化为设定'
S11=I条件下,通过对|'
(S11–S10S00-1S01)|的极小化求的极大似然估计量。
根据典型相关理论,上述求极小问题可以转化为求广义特征值问题,
|S11–S10S00-1S01|=0,(8.85)
其中是关于S11的S10S00-1S01的特征值。
相应特征向量vi,i=1,…,r则构成,即=(v1v2…vr)(其中vi与r个最大的特征值相对应,而r值则由假设检验(8.62)确定。
)
求出的极大似然估计量
后,其他参数的极大似然估计量都可求出。
利用约束条件'
S11=I,由(8.80)式得,
=S01
(8.86)
=
(8.87)
由(8.82)式得,
=S00-S01
(
S11
)-1
S10=S00-S
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