实变函数与泛函分析课程教学大纲文档格式.doc
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适用对象:
信息与计算科学专业本科
考核方式:
考试,平时成绩30%,期末成绩70%
先修课程:
数学分析和高等代数
二、课程简介
中文简介:
实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究,在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质,其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。
它是数学分析的继续、深化和推广,是一门培养学生数学素质的重要课程,也是现代数学的基础。
泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题,同时概括了经典分析的许多重要概念,是现代数学中一个重要的分支,它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题,其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。
英文简介:
RealvariableanalysisAndFunctionalanalysisisatheoreticalcourseofmathematicswhichcanbeusedinvariablefieldssuchasengineeringandtechnology,physics,chemical,biology,economicandotherfields.TheeducationalaiminthiscourseistodeveloptheabilitiesofstudentsinanalyzingandsolvingpracticalproblembythespecialwaysofRealvariableanalysisAndFunctionalanalysis’thinkingandreasoning.
三、课程性质与教学目的
本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上,着重泛函分析的应用,教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
本课程就其实质来说是方法性的,但对于应用学科的学生来说,作为授课的目的,则是知识性的,故在教学方法和内容的选择上来说,只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容,冗难的证明过程应尽量避免。
本课程要求如下:
1.理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系,了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
2.了解可测函数的概念,构造,以及函数列的收敛性质。
3.了解Lebesgue积分的概念,掌握收敛定理。
4.理解赋范线性空间和内积空间的相关知识点。
5.理解线性算子理论和有界线性泛函理论,了解三个基本定理。
四、教学内容及要求
第一章集合与测度
(一)目的与要求
1.使学生认识集族的交并关系,映射及其性质,集的对等,可数集合,度量空间的概念和度量空间中的点集,直线上的测度和可测集,Lebesgue测度及相关理论;
2.本章要求学生了解集族的交并关系,了解度量空间的概念和测度及可测集的概念。
(二)教学内容
第一节集合与映射
1.主要内容
集族的交并关系,映射及其性质,集的对等。
2.基本概念和知识点
集族的交并关系,映射,集的对等,可数集合。
3.问题与应用(能力要求)
了解集族的交并关系,理解映射,集的对等,可数集合。
第二节度量空间
度量空间的概念,度量空间中的点集。
度量空间,收敛性,度量空间的拓扑。
理解度量空间的概念,理解度量空间的拓扑(包括了有关概念)。
第三节Lebesgue可测集
直线上点集的构造,Cantor三分集,Lebesgue可测集及测度的相关性质。
构造区间,Cantor三分集,Lebesgue可测集,型集和型集。
了解直线上点集的构造区间,熟悉Cantor三分集,了解Lebesgue可测集,型集和型集。
(三)课后练习作业和思考题:
第一节课后练习P19之1,2,3,6,8。
第二节课后练习P20之9,11,13,14,16,17;
抄题18—28。
第三节课后练习P20之2932,36,37;
抄题36,37。
(四)教学方法与手段
本章教学主要采用课堂讲授的方法。
第二章可测函数
(一)目的与要求
要让学生理解简单函数和可测函数,了解可测函数的性质和构造,了解可测函数列的极限。
(二)教学内容
第一节简单函数与可测函数
简单函数,简单函数的表示和运算,可测函数,可测函数的判定。
简单函数,可测函数。
了解简单函数及其表示和运算,理解可测函数的概念。
第二节可测函数的性质
1.主要内容
可测函数的运算,可测函数的构造,Lusin定理。
2.基本概念和知识点
3.问题与应用(能力要求)
了解可测函数的运算,了解可测函数的构造,理解Lusin定理。
第三节可测函数列的收敛性
1.主要内容
Egoroff定理,依测度收敛概念,Lebesgue定理,Riesz定理。
2.基本概念和知识点
Egoroff定理,依测度收敛概念,Lebesgue定理,Riesz定理。
3.问题与应用(能力要求)
了解三个定理和依测度收敛的概念。
(三)课后练习作业和思考题:
第一节课后练习P38之2,3,6;
抄题
第二节课后练习P38之7;
抄题10,12,13,14。
第三节课后练习P38之23;
抄题25,26,27。
(四)教学方法与手段
第三章Lebesgue积分
1.本章介绍Lebesgue积分的概念与性质,积分收敛定理,Lebesgue积分与Riemann积分的关系,积分与微分,Fubini定理;
2.要求学生理解Lebesgue积分的概念与性质,掌握Fubini定理。
第一节Lebesgue积分的概念与性质
逐步讲解了可测函数的积分,区分有积分和可积性,讲解了积分的性质。
有积分和可积性,积分的性质。
了解积分的定义,了解积分的性质。
第二节积分收敛定理
Levi定理,Fatou定理,逐项积分定理,Lebesgue控制收敛定理。
理解四个定理的作用。
第三节Lebesgue积分与Riemann积分的关系
定理3.21和定理3.22,给出了Riemann可积的充要条件。
定理3.21和定理3.22。
了解定理3.21和定理3.22的内容。
第四节积分与微分
讲解有界变差函数和绝对连续函数及相互关系。
有界变差函数,绝对连续函数。
了解有界变差函数和它的表示,理解绝对连续函数的作用。
第五节Fubini定理
讲解重积分交换积分次序的Fubini定理。
Fubini定理。
了解L及其上的测度,了解重积分和交换积分次序的Fubini定理。
第一节课后练习P68之1,2,3;
抄题5,6。
第二节课后练习P69之10,11;
抄题7,8,9。
第三节课后练习P69之12;
第四节课后练习P69之18;
抄题19,24,26。
第五节课后练习P69之;
(四)教学方法与手段
第四章线性赋范空间
本章介绍线性赋范空间的各有关知识和概念,包括收敛性,完备性,列紧性,不动点定理和拓扑空间简介。
第一节线性空间
介绍了线性空间,基和维数,子空间和凸集,空间的同构。
线性空间,基和维数,子空间和凸集,空间的同构。
认识无穷维空间和凸集。
第二节线性赋范空间
范数,距离,Hö
lder不等式和Minkowski不等式。
范数,距离,例,Hö
理解线性空间的范数,距离,掌握Hö
第三节线性赋范空间中的收敛
讲解收敛点列,等价范数,连续映射,稠密性和可分空间。
收敛点列,等价范数,连续映射,稠密性和可分空间。
3.问题与应用(能力要求)
理解收敛点列,等价范数,连续映射,稠密性和可分空间。
第四节空间的完备性
讲解Cauchy列,Banach空间,子空间的完备性和赋范线性空间的完备化。
Cauchy列,Banach空间,子空间的完备性,赋范线性空间的完备化。
理解Cauchy列,Banach空间,子空间的完备性,掌握赋范线性空间的完备化和嵌入过程。
第五节列紧性与有限维空间
讲解列紧的概念和性质,有限维空间的特征和Riesz引理。
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