大连理工大学《矩阵与数值分析》2008年真题答案Word格式.doc
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,3。
2.给定3个求积节点:
,和,则用复化梯形公式计算积分求得的近似值为:
,则用复化
Simpson公式求得的近似值为。
2.设函数,若当时,满足,则其可表示
为。
4.已知,则6,0,逼近的Newton插值多项式为:
。
5.用于求的根的具有平方收敛的Newton迭代公式为:
6.已知,则的Jordan标准型是:
或;
7.取,其中,,则
;
8.求解一阶常微分方程初值问题,的向后(隐式)
Euler法的显式化的格式为:
9.设12为的近似值,且,则至少有
5位有效数字;
10.将,化为的Householder矩阵为:
11.;
12.用二分法求方程在区间内的根,进行一步后根所在区间为,进行二步后根所在区间为。
13.写出如下二阶常微分方程两点边值问题的差分格式为(化成最简分量形式):
。
,,,
其中,,。
14.设,则在Schur分解中,可取为或。
15.设,则,。
#
二、(8分)根据下列表格给出的数据,求其形如的最小二乘拟合曲线。
-2-1012
-3.1-0.91.03.14.9
解:
正规方程为:
即为:
,解之,。
三、(12分)设线性方程组:
(1)列主元消元法求出上述方程组的解,并利用得到的上三角矩阵计算出(要有换元、消元过程);
(2)试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛?
(3)请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式,并说明其收敛性。
(1)
故,,。
(2)由于Gauss-Seidel迭代法的特征值满足:
,则
,故,从而Gauss-Seidel迭代法发散。
又由于Jacobi迭代法的迭代矩阵为:
,,则
,故,从而Jacobi迭代法发散。
(3)将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后,新的方程组的系数矩阵为:
是严格对角占有的,故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。
且新的方程组与原方程组同解。
Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分别为:
和#
四、(15分)对于如下的数值方法
(1)求出其局部截断误差主项,并指出此方法的完整名称;
(2)证明其收敛性;
(3)求出其绝对稳定区间。
(1)注意,,从而
故此为线性隐式二步三阶法,其局部截断误差主项为:
(2)令,,得,,满足根条件;
又方法阶,故此差分格式收敛。
(3)又对于模型问题:
(),取
而要使得 的充要条件为:
而自然成立。
现在再由得
由,可推出,即。
五、(14分)
(1)用Schimidt正交化方法,构造上权函数正交多项式系,,,;
(2)设在上具有二阶连续导数,用1)中所得到的的零点,为插值节点构造的Largrange插值多项式,并给出余项估计式;
(3)设要计算积分以代替,求出相应的数值求积公式,并求出其代数精度;
(3)利用3)的结果给出的数值求积公式。
(1),
(2)令,得。
则
,
(3),3次代数精度。
(4)令则
六、证明题(5分)
设均为可逆矩阵,且齐次线性方程组有非零解,证明:
对于中的任何矩阵范数,都有。
证明:
(1)由题意,可知矩阵奇异。
故奇异。
反证法,若存在某种范数,使得,则,则可知非奇异,与条件矛盾。
(2)由于有非零解,故对,取与向量的范数相容的矩阵范数,则由
得。
-7-
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