大一高等数学期末考试试卷及答案详解Word格式.doc
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2.(7分)求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋转体的体积.
3.(7分)求曲线在拐点处的切线方程.
4.(7分)求函数在上的最小值和最大值.
五、证明题(6分)
设在区间上连续,证明
(二)
一、填空题(每小题3分,共18分)
1.设函数,则是的第类间断点.
2.函数,则.
3..
4.曲线在点处的切线方程为.
5.函数在上的最大值,最小值.
6..
二、单项选择题(每小题4分,共20分)
1.数列有界是它收敛的().
必要但非充分条件;
充分但非必要条件;
充分必要条件;
无关条件.
2.下列各式正确的是().
;
;
.
3.设在上,且,则曲线在上.
沿轴正向上升且为凹的;
沿轴正向下降且为凹的;
沿轴正向上升且为凸的;
沿轴正向下降且为凸的.
4.设,则在处的导数().
等于;
等于;
不存在.
5.已知,以下结论正确的是().
函数在处有定义且;
函数在处的某去心邻域内有定义;
函数在处的左侧某邻域内有定义;
函数在处的右侧某邻域内有定义.
三、计算(每小题6分,共36分)
1.求极限:
.
2.已知,求.
3.求函数的导数.
4..
5..
6.方程确定函数,求.
四、(10分)已知为的一个原函数,求.
五、(6分)求曲线的拐点及凹凸区间.
六、(10分)设,求.
(三)
一、填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分).
(1)=_____________.
(2)曲线上与直线平行的切线方程为_________.
(3)已知,且,则___________.
(4)曲线的斜渐近线方程为_________
(5)微分方程的通解为_________
二、选择题(本题共5小题,每小题4分,共20分).
(1)下列积分结果正确的是(D)
(A)(B)
(C)(D)
(2)函数在内有定义,其导数的图形如图1-1所示,则(D).
(A)都是极值点.
(B)都是拐点.
(C)是极值点.,是拐点.
(D)是拐点,是极值点.
图1-1
(3)函数满足的一个微分方程是(D).
(A) (B)
(C) (D)
(4)设在处可导,则为(A).
(A).(B).(C)0.(D)不存在.
(5)下列等式中正确的结果是(A).
(A)(B)
(C)(D)
三、计算题(本题共4小题,每小题6分,共24分).
1.求极限.
解=1分
=2分
=1分
=2分
2.方程确定为的函数,求与.
解(3分)
(6分)
3.4.计算不定积分.
4.计算定积分.
解(3分)
(6分)
(或令)
四、解答题(本题共4小题,共29分).
1.(本题6分)解微分方程.
2.(本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1),桶内盛有半桶水,设桶的底半径为,水的比重为,计算桶的一端面上所受的压力.
解:
建立坐标系如图
x
y
3.(本题8分)设在上有连续的导数,,且,
试求.
4.(本题8分)过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形D.
(1)(3)
求D的面积A;
(2)(4)
求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V.
(1)设切点的横坐标为,则曲线在点处的切线方程是
----1分
由该切线过原点知,从而所以该切线的方程为
----1分
平面图形D的面积
----2分
(2)切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为2分
曲线与x轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为
,1分
因此所求旋转体的体积为
1分
五、证明题(本题共1小题,共7分).
1.证明对于任意的实数,.
解法一:
解法二:
设则1分
因为1分
当时,单调增加,2分
所以对于任意的实数,即。
1分
解法三:
由微分中值定理得,
,其中位于0到x之间。
2分
当时,,。
2分
2分
所以对于任意的实数,。
1分
(四)
一.填空题(每小题4分,5题共20分):
1..
2..
3.设函数由方程确定,则.
4.设可导,且,,则.
5.微分方程的通解为.
二.选择题(每小题4分,4题共16分):
1.设常数,则函数在内零点的个数为(B).
(A)3个;
(B)2个;
(C)1个;
(D)0个.
2.微分方程的特解形式为(C)
(A);
(B);
(C);
(D)
3.下列结论不一定成立的是(A)
(A)(A)
若,则必有;
(B)(B)
若在上可积,则;
(C)(C)
若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;
(D)(D)
若可积函数为奇函数,则也为奇函数.
4.设,则是的(C).
(A)连续点;
(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;
(D)无穷间断点.
三.计算题(每小题6分,5题共30分):
1.计算定积分.
解:
-------2
-------2
--------2
2.计算不定积分.
--------3
-----------3
3.求摆线在处的切线的方程.
切点为-------2
-------2
切线方程为即.-------2
4.设,则.
5.设,求.
---------2
--------------2
=------------2
故=
四.应用题(每小题9分,3题共27分)
1.求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.
设切点为,则过原点的切线方程为,
由于点在切线上,带入切线方程,解得切点为.-----3
过原点和点的切线方程为-----------------------------3
面积=-------------------3
或
2.设平面图形由与所确定,试求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.
解:
法一:
-------6
--------3
法二:
V=
------------------5
-------------4
3.设在内的驻点为问为何值时最小?
并求最小值.
解:
---------------3
------------3
-----2
故--------------1
五.证明题(7分)
设函数在上连续,在内可导且
试证明至少存在一点,使得
证明:
设,在上连续在可导,因,
有,---------------2
又由,知在上用零点定理,
根据,---------------2
可知在内至少存在一点,使得,
由ROLLE中值定理得至少存在一点使得即,证毕.--------------3
标准答案
一、1B;
2C;
3D;
4A.
二、1230;
40.
三、1解原式6分
2解2分
4分
3解原式3分
2分
1分
4解令则2分
1分
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