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一次项系数为 b .
预习自测
(1)方程
是否是一元二次方程?
【知识点】一元二次方程概念
【思路点拨】整式方程中都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,这样的方程叫做一元二次方程.
【解题过程】解:
此方程只含有一个未知数,未知数的次数为一次,所以不是一元二次方程.
【答案】否
(2)方程
【设计意图】复习设未知数列方程的步骤。
通过对旧知识的复习,为新知识的学习作铺垫.
●活动②大胆猜想,探究新知
观察这两个方程,小组讨论,有何发现?
回答下列问题:
(1)上面方程整理后含有几个未知数?
学生回答:
1个未知数.
(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次?
2次
(3)有等号吗?
还是与多项式一样只有式子?
是等式
【设计意图】让学生充分感受所列方程的特点,通过比较,对一元二次方程的概念达到共识,从而为掌握概念作准备.
●活动③集思广益,归纳概念
老师问:
一元二次方程的概念是什么?
概念归纳:
1.一元二次方程的概念:
等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式:
,其中ax2是二次项,a是二次项系数;
bx是一次项,b是一次项系数;
c是常数项.
【设计意图】概括归纳出一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式.
●活动④掌握一元二次方程的特点
提出问题:
(1)一元二次方程的一般形式有什么特点?
等号的左、右分别是什么?
(2)为什么要限制a≠0,b,c可以为0吗?
(3)一元二次方程3x2-x+2=0的一次项系数是1吗?
为什么?
一元二次方程是整式方程,等号左边只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.等号右边为0.
若
则二次项不存在,所以要限制a≠0,b,c可以为0.
一元二次方程3x2-x+2=0的一次项系数不是1,应是-1.
老师总结:
一元二次方程特殊形式:
;
【设计意图】加深对概念的理解,从而达到真正理解定义的目的。
●活动⑤类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念
一元二次方程的根:
一元一次方程的根是什么?
使一元一次方程成立的未知数的值叫做一元一次方程的解(或根).
一元二次方程的根的概念是什么?
使一元二次方程成立的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根).
【设计意图】
识记、理解相关概念.通过类比,迁移提高.
探究二利用一元二次方程的概念解决简单的问题.★▲
●活动①一元二次方程的概念和一元二次方程的根的概念的应用
例1.判断下列方程是否为一元二次方程?
【知识点】一元二次方程的概念
【解题过程】
(1)不是方程;
(2)含有一个未知数并且未知数最高次数为2的整式方程;
(3)整理后二次项系数为0;
(4)不是整式方程;
(5)不是整式方程;
(6)二次项系数可能为0.
【思路点拨】一元二次方程的特点:
首先它是整式方程,然后未知数的个数是1,最高次数是2
【答案】
(1)否
(2)是(3)否(4)否(5)否(6)否
【设计意图】通过练习,掌握一元二次方程的概念.
练习1.在下列方程中,一元二次方程的个数是()
①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-1④3x2-
=0
A.1个B.2个C.3个D.4个
【知识点】一元二次方程的概念
【解题过程】①3x2+7=0是
②ax2+bx+c=0二次项系数可能为0,所以不是一元二次方程
③(x-2)(x+5)=x2-1整理后二次项系数为0,所以不是一元二次方程
④3x2-
=0不是整式方程,所以不是一元二次方程
【思路点拨】判断一个方程是否是一元二次方程的依据:
(1)整式方程;
(2)只含有一个未知数;
(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项,但是化简后二次项系数为0,这样的方程不是一元二次方程.
【答案】A
例2.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根?
-4,-3,-2,0.
【知识点】一元二次方程的根
【解题过程】将x=-4代入原方程,
,不是
将x=-3代入原方程,
,是
将x=-2代入原方程,
将x=0代入原方程,
【思路点拨】判断一个数是否为方程的解,可以将这个数代入方程,判断方程左、右两边的值是否相等.
【答案】-3,-2
练习2.
已知关于x的一元二次方程
的一个根是x=0,则a的值为_________
【解题过程】把x=0代入原方程得,
【思路点拨】把所给方程的根代入原方程,再解方程求出所含字母的值
【答案】-1
【设计意图】通过练习,掌握一元二次方程的根的概念.
●活动2一元二次方程的一般形式的应用
例3.判断下列方程是不是关于x的一元二次方程,如果是,写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)3x(x+2)=4(x-1)+7
(2)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
【知识点】一元二次方程的一般形式.
(1)原方程整理得:
,二次项系数为3、一次项系数为2,常数项为-3.
(2)原方程整理得:
9x+10=0,因此它不是一元二次方程.
【思路点拨】将方程化成一般形式,再根据其一般形式确定它的二次项系数、一次项系数和常数项.
【答案】
(1)是一元二次方程;
3;
2;
-3
(2)不是一元二次方程.
练习3.把下列方程化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、常数项:
方程
一般形式
二次项系数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
将3x2=5x-1化为一般形式
,二次项系数为3、常数项为1.
将(x+2)(x-1)=6化为一般形式
,二次项系数为1、常数项为-8.
【思路点拨】将方程化成一般形式,再确定二次项系数和常数项.
(1)
3;
1
(2)
1;
-8
【设计意图】理解一元二次方程的一般形式,及其二次项和二次项系数、一次项和一次项系数、常数项.
例4.若关于x的方程
是一元二次方程,求m的取值范围.
【解题过程】原方程整理得
,因其是一元二次方程,
∴m-2
0,
∴m
2.
【思路点拨】先将原方程化为一般形式,再根据一元二次方程的二次项系数不能为0,求出m的范围.
【答案】m
2
练习4.若关于x的方程
是一元二次方程,求m的值.
是关于x的一元二次方程
【思路点拨】一元二次方程的一般形式为
.
【设计意图】加强对一元二次方程的概念的理解,不能忽略a
0这一隐含条件.
●活动3综合应用
例5.已知关于x的方程
(1)k为何值时,此方程为一元二次方程?
并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项.
(2)k为何值时,此方程为一元一次方程?
【知识点】一元二次方程和一元一次方程的概念.
是一元二次方程
该方程的二次项系数为
、一次项系数为k+1、常数项为-2.
是一元一次方程
【思路点拨】根据一元二次方程和一元一次方程的概念分别列不等式(组)求解.
(1)k
1,
,k+1,-2;
(2)k=1
练习5.已知关于x的方程
当_____________时,是一元二次方程
当_____________时,是一元一次方程
【知识点】一元二次方程和一元一次方程的概念
【设计意图】加强对一元二次方程和一元一次方程概念的理解
例6.已知方程x2+bx+a=0有一根为-a,(a≠0)则下列代数式的值恒为常数的是()
A.abB.
C.a+bD.a-b
【知识点】一元二次方程的根的概念
有一根为
【思路点拨】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知数的值,所以将根代入原方程.
【答案】D
练习6.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)满足a+b+c=0时,有根x=_________.
(2)满足a-b+c=0时,有根x=_________.
(3)满足c=0时,有根x=_________.
(1)当
时,一元二次方程ax2+bx+c=0可化为
,因此满足a+b+c=0时,有根x=1.
(2)当
,因此满足a-b+c=0时,有根x=-1.
(3)当
,因此满足c=0时,有根x=0.
【思路点拨】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知数的值,所以将根带回原方程.
(3)
【设计意图】加强对一元二次方程的根的概念的理解和应用.
2.课堂总结
知识梳理
c是常数项.
3.一元二次方程的根:
重难点归纳
1.一元二次方程的二次项系数不能为0,其一般形式为:
2.一元二次方程特殊形式有:
3.判断一个方程是否是一元二次方程的依据:
4.只有一元方程的“解”可以说成“根”.
5.判断一个数是否为方程的解,可以将这个数代入方程,判断方程左、右两边的值是否相等.
6.一元二次方程ax2+bx+c=0(a
0),当a+b+c=0时,有根x=1;
当a-b+c=0时,有根x=-1;
当c=0时,有根x=0.
(三)课后作业
基础型自主突破
1.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( )
A.ax2+bx+c=0B.x2+2x=x2﹣1C.3(x+1)2=2(x+1)D.
﹣2=0
【解题过程】A.可能
,不是一元
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- 一元二次方程 一元 二次方程 名师 教案
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