线性代数试题及答案3.doc
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线性代数试题及答案3.doc
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线性代数习题和答案
第一部分选择题(共28分)
一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式=m,=n,则行列式等于(D)
A.m+n B.-(m+n)C.n-m D.m-n
2.设矩阵A=,则A-1等于(B)
A. B CD
3.设矩阵A=,A*是A的伴随矩阵,则A*中位于(1,2)的元素是(B)
A.–6 B.6C.2 D.–2
4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有(D)
A.A=0B.BC时A=0C.A0时B=C D.|A|0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(AT)等于(C)
A.1 B.2C.3 D.4
6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则(D)
A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0
C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0
D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7.设矩阵A的秩为r,则A中(C)
A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是(A)
A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆,则必有(A)
A.秩(A) 10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是(B) A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有(A) A.k≤3 B.k<3C.k=3 D.k>3 12.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是(B) A.|A|2必为1 B.|A|必为1C.A-1=AT D.A的行(列)向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=CTAC.则(D) A.A与B相似B.A与B不等价C.A与B有相同的特征值D.A与B合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为(C) A. B. C. D. 第二部分非选择题(共72分) 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。 错填或不填均无分。 15.6. 16.设A=,B=.则A+2B=. 17.设A=(aij)3×3,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,3),则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=4. 18.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关,则a=-10. 19.设A是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1)),c为任意常数 20.设A是m×n矩阵,A的秩为r( 21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积(α+β,α-β)=-5. 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为-2. 23.设矩阵A=,已知α=是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为1. 24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为. 三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分) 25.设A=,B=.求 (1)ABT; (2)|4A|. 26.试计算行列式. 27.设矩阵A=,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B. 28.给定向量组α1=,α2=,α3=,α4=. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合;若是,则求出组合系数。 29.设矩阵A=. 求: (1)秩(A); (2)A的列向量组的一个最大线性无关组。 30.设矩阵A=的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D. 31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x1,x2,x3)=, 并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分) 32.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆,且(E-A)-1=E+A+A2. 33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 (1)η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b的解; (2)η0,η1,η2线性无关。 答案: 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分) 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C6.D7.C 8.A 9.A 10.B11.A 12.B 13.D14.C 二、填空题(本大题共10空,每空2分,共20分) 15.616.17.418.–1019.η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1)),c为任意常数 20.n-r21.–522.–223.124. 三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分) 25.解 (1)ABT==. (2)|4A|=43|A|=64|A|,而|A|=.所以|4A|=64·(-2)=-128 26.解== 27.解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而 (A-2E)-1= 所以B=(A-2E)-1A== 28.解一 所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为(2,1,1). 解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,即 方程组有唯一解(2,1,1)T,组合系数为(2,1,1). 29.解对矩阵A施行初等行变换 A=B. (1)秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3. (2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。 (A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是) 30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为 ξ1=(2,-1,0)T,ξ2=(2,0,1)T. 经正交标准化,得η1=,η2=.λ=-8的一个特征向量为ξ3=, 经单位化得η3=所求正交矩阵为T=. 对角矩阵D=(也可取T=.) 31.解f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-2x3)2-2x22+4x2x3-7x32 =(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-5x32. 设,即,因其系数矩阵C=可逆, 故此线性变换满秩。 经此变换即得f(x1,x2,x3)的标准形y12-2y22-5y32. 四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分) 32.证由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E, 所以E-A可逆,且 (E-A)-1=E+A+A2. 33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0. (1)Aη1=A(η0+ξ1)=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2=b, 所以η1,η2是Ax=b的2个解。 (2)考虑l0η0+l1η1+l2η2=0, 即(l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0. 则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾。 所以 l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0. 所以η0,η1,η2线性无关。 5
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