概率论与数理统计复习题1doc.docx
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概率论与数理统计复习题
一:
全概率公式和贝叶斯公式
例:
某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:
2:
1,各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%。
现从该厂产品中任意抽取一件,求:
(1)取到不合格产品的概率;
(2)若取到的是不合格品,求它是由甲车间生产的概率。
解:
设A1,A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格,则A1,A2,A3为一个完备事件组。
P(A1)=1/2,P(A2)=1/3,P(A3)=1/6,
P(B|A1)=0.08,P(B|A2)=0.09,P(B|A3)=0.12。
由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.09
由贝叶斯公式:
P(A1|B)=P(A1B)/P(B)=4/9
练习:
市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货,其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等,而且第一、二、三厂家的次品率依次为2%,2%,4%。
若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少?
【0.4】
练习:
设两箱内装有同种零件,第一箱装50件,有10件一等品,第二箱装30件,有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件,求:
(1)取出的零件是一等品的概率;
(2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率。
解:
设事件={从第i箱取的零件},={第i次取的零件是一等品}
(1)P()=P()P(|)+P()P(|)=
(2)P()=,则P(|)==0.485
二、连续型随机变量的综合题
例:
设随机变量X的概率密度函数为
求:
(1)常数λ;
(2)EX;(3)P{1 解: (1)由得到λ=1/2 (2) (3) (4)当x<0时, 当0x<2时, 当x2时,F(x)=1 故 练习: 已知随机变量X的密度函数为 且E(X)=7/12。 求: (1)a,b; (2)X的分布函数F(x) 练习: 已知随机变量X的密度函数为 求: (1)X的分布函数F(x); (2)P{0.3 三、离散型随机变量和分布函数 例: 设X的分布函数F(x)为: 则X的概率分布为()。 分析: 其分布函数的图形是阶梯形,故x是离散型的随机变量 [答案: P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.] 练习: 设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。 [答案: 当x<1时,F(x)=0;当1≤x<2时,F(x)=0.2; 当2≤x<3时,F(x)=0.5;当3≤x时,F(x)=1 四、二维连续型随机向量 例: 设与相互独立,且服从的指数分布,服从的指数分布,试求: (1)联合概率密度与联合分布函数; (2); (3)在取值的概率。 解: (1)依题知 所以联合概率密度为 当时,有 所以联合分布函数 (2); (3) 练习: 设二元随机变量(X,Y)的联合密度是 求: (1)关于X的边缘密度函数fX(x); (2)P{X≥50,Y≥50} 五、二维离散型随机向量 设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处。 [答案: ] 六、协差矩阵 例: 已知随机向量(X,Y)的协差矩阵V为 计算随机向量(X+Y,X-Y)的协差矩阵 解: DX=4,DY=9,COV(X,Y)=6 D(X+Y)=DX+DY+2COV(X,Y)=25 D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=1 COV(X+Y,X-Y)=DX-DY=-5 故(X+Y,X-Y)的协差矩阵 练习: 随机向量(X,Y)服从二维正态分布,均值向量及协差矩阵分别为 计算随机向量(9X+Y,X-Y)的协差矩阵 解: E(9X+Y)=9EX+EY=9μ1+μ2 E(X-Y)=EX-EY=μ1-μ2 D(9X+Y)=81DX+DY+18COV(X,Y)=81σ12+18ρσ1σ2+σ22 D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=σ12-2ρσ1σ2+σ22 COV(9X+Y,X-Y)=9DX-DY-8COV(X,Y)=9σ12-8ρσ1σ2-σ22 然后写出它们的矩阵形式(略) 七、随机变量函数的密度函数 例: 设XU(0,2),则Y=在(0,4)内的概率密度()。 [答案填: ] 解: XU(0,2),, 求导出=() 练习: 设随机变量X在区间[1,2]上服从均匀分布,求Y=的概率密度f(y)。 [答案: 当时,f(y)=,当y在其他范围内取值时,f(y)=0.] 八、中心极限定理 例: 设对目标独立地发射400发炮弹,已知每一发炮弹地命中率等于0.2。 请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率。 解: 设X表示400发炮弹的命中颗数,则X服从B(400,0.2),EX=80,DX=64, 由中心极限定理: X服从正态分布N(80,64) P{60 练习: 袋装食盐,每袋净重为随机变量,规定每袋标准重量为500克,标准差为10克,一箱内装100袋,求一箱食盐净重超过50250克的概率。 九、最大似然估计 例: 设总体X的概率密度为 其中未知参数,是取自总体的简单随机样本,用极大似然估计法求的估计量。 解: 设似然函数 对此式取对数,即: 且 令可得,此即的极大似然估计量。 例: 设总体的概率密度为 据来自总体的简单随机样本,求未知参数的最大似然估计量。 解: 由 得总体的样本的似然函数 再取对数得: 再求对的导数: 令,得 所以未知参数的最大似然估计量为。 练习: 设总体X的密度函数为 X1,X2,…,Xn是取自总体X的一组样本,求参数α的最大似然估计 十、区间估计 总体X服从正态分布N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为X的一个样本 1: σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间 2: σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间 3: 求σ2置信度为1-α的置信区间 例: 设某校学生的身高服从正态分布,今从该校某班中随机抽查10名女生,测得数据经计算如下: 。 求该校女生平均身高的95%的置信区间。 解: 由样本数据得 查表得: t0.05(? )=2.2622,故平均身高的95%的置信区间为 例: 从总体X服从正态分布N(μ,σ2)中抽取容量为10的一个样本,样本方差S2=0.07,试求总体方差σ2的置信度为0.95的置信区间。 解: 因为,所以的95%的置信区间为: 其中S2=0.07,,所以= =(0.033,0.233) 例: 已知某种材料的抗压强度,现随机地抽取10个试件进行抗压试验,测得数据如下: 482,493,457,471,510,446,435,418,394,469. (1)求平均抗压强度的点估计值; (2)求平均抗压强度的95%的置信区间; (3)若已知=30,求平均抗压强度的95%的置信区间; (4)求的点估计值; (5)求的95%的置信区间; 解: (1)0 (2)因为,故参数的置信度为0.95的置信区间是: 经计算,s=35.276,n=10, 查自由度为9的分位数表得,,故 =={432.30,482.70} (3)若已知=30,则平均抗压强度的95%的置信区间为: = ={438.90,476.09} (4)=S2=1240.28 (5)因为,所以的95%的置信区间为: 其中S2=1240.28,,所以= ={586.79,4134.27} 十一、假设检验 1.已知方差σ2,关于期望μ的假设检验 2.未知方差σ2,关于期望μ的假设检验 3.未知期望μ,关于方差σ2的假设检验 例: 已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112),现在测定了9炉铁水,含碳量平均数,样本方差S2=0.0169。 若总体方差没有变化,即σ2=0.121,问总体均值μ有无显著变化? (α=0.05) 解: 原假设H0: μ=4.55 统计量,当H0成立时,U服从N(0,1) 对于α=0.05,U0.025=1.96 故拒绝原假设,即认为总体均值μ有显著变化 练习: 某厂生产某种零件,在正常生产的情况下,这种零件的轴长服从正态分布,均值为0.13厘米。 若从某日生产的这种零件中任取10件,测量后得 厘米,S=0.016厘米。 问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样? (α=0.05) 【不一样】 例: 设某厂生产的一种钢索,其断裂强度kg/cm2服从正态分布.从中选取一个容量为9的样本,得kg/cm2.能否据此认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm2(). 解: H0: u=800. 采用统计量U= 其中σ=40,u0=800,n=9, ,查标准正态分布表得=1.96 |U|=, |U|<,应接受原假设,即可以认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm2. 练习: 某厂生产铜丝,生产一向稳定。 现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力,测后经计算: 。 假定铜丝折断力服从正态分布,问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16? (α=0.1) 【是】 十二、证明题: 例: 总体,其中是未知参数,又为取自该总体的样本,为样本均值.证明: 是参数的无偏估计. 证明: 因为=,故是参数的无偏估计. 例: 设是参数的无偏估计量,,证明: 不是的无偏估计量. 证明: 因为是参数的无偏估计量,所以,,即, 故不是的无偏估计量. 其它证明题见同步练习46页五、50页五、 十三、其它题目 例: 设随机变量X在区间[2,5]上服从均匀分布,求对X进行的三次独立观测中,至少有两次的观测值大于3的概率。 解: P(X>3)=d=,则所求概率即为 练习: 设测量误差X~N(0,100),求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并用泊松分布求其近似值(精确到0.01)。 解: 由于X~N(0,100),则 P(|X|>19.6)=1-P(|X|19.6)=2[1-(1.96)]=0.05且显然Y~B(100,0.05),故P(Y3) =1-P(Y2)=1- 设=np=100×0.05=5,且YP(5),则 P(Y3)=1-P(Y2)=1-=0.875348 例: 对某地抽样调查的结果表明,考生的外语成绩(按百分制计)近似服从正态分布,平均72分,且96分以上的考生数占2.3%。 求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。 解: 设X表示考生的外语成绩,且X~N(72,),则 P(X>96)=1-P(X96)=1-()=0.023, 即()=0.977,查表得=2,则=12,即且X~N(72,144), 故P(60X84)=P(-11)=2 (1)-1=0.682
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