华东师大数学分析习题解答5Word文档格式.doc
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(15)发散;
(16)收敛收敛;
(17)收敛;
(18)收敛收敛;
(19)~与同敛态;
(20)收敛.
解 其中有十二个真命题:
(3),(4),(5),(7),(8),(9),(11),
(13),(16),(18),(19),(20);
其余八个是伪命题.现依此简述如下:
(1)反例:
为收敛.
(2)反例:
收敛,为发散.
(3)因.
(4),(5)因收敛
收敛.
(6)反例:
,为发散.
(7)因,
收敛.
(8)因.
(9)据阿贝尔判别法,收敛,单调有界,故收敛.
(10)反例:
收敛,而不存在极限.
(11)由收敛,
(12)反例:
收敛,发散.
(13)
(14)反例:
发散,但因,
故为收敛.
(15)反例:
收敛,满足.
(16)
(17)反例:
同(12)题.
(18)收敛时,,有
所以满足柯西条件,从而收敛.
(19)~.可见与同时收敛,或同时发散.
(20)设的前项部分和为,且.则有
□
2.设为证项级数,试证对数判别法:
(1)若存在和,使得当时,有
,
则收敛;
(2)若存在,使得当时,有,则发散.
证 把不等式分别改写成:
(1);
(2).
根据比较法则,(1)时收敛;
(2)时发散. □
3.利用对数判别法鉴别下列正项级数的敛、散性:
(2);
(3).
解 (1),,故收敛.
(2),,故收敛.
(3),由于
故当时收敛;
时发散. □
4.证明:
(1)若收敛,则收敛;
(2)若收敛,则时也收敛.
证 (1).由阿贝尔判别法,已知收敛,而
单调有界,故收敛.
(2)同理,由,收敛,当时单调有界,故收敛. □
5.证明:
若与都在上一致收敛,则在上也一致收敛.
证 设,,.依据定义,,当时,对一切,恒有
, ;
于是又有
.
所以,.
注:
本题也可用确界逼近准则(p.138定理5.2)来证明. □
6.设在区间上一致连续,,,且,.试证:
,.
证 因在上一致连续,故,只要,
便有.
对上述,由,,必定,当时,对一切,均有.记,则有
这就证得,. □
7.证明:
在上一致收敛的必要条件是.
证 设,则.
由题5易知
. □
8.设收敛,试证上一致收敛.
证 由一致收敛的阿贝尔判别法,数项级数收敛即一致收敛;
对每个,
对单调(减),且一致有界故
在上一致收敛. □
9.判别下列函数序列或函数项级数在指定的区间上是否一致收敛:
(1),;
(2),;
;
(4),(ⅰ),(ⅱ);
(5).
解 (1)由于,且
因此,.
(2)由函数项级数一致收敛的狄利克雷判别法,为一致有界;
,关于单调(减);
且,
从而,.所以,在上为一致收敛.
(3)事实上,.记
由,求出的最大值点,和最大值.由于
因此.
(4)设,则有
(ⅰ)由于,因此在上不一致收敛,从而在上更不一致收敛.
(ⅱ)当时,由于
(5)设.由于
因此有.根据优级数判别法,由收敛,可知在上一致收敛. □
10.证明:
在任何闭区间上一致收敛;
但对任何不绝对收敛.
证 由于为一致有界,,关于单调(减),
,设,因此根据狄利克雷判别法,该级数在任何上一致收敛.
又因对任何,,所以发散. □
.设在上可积,
试证在上一致收敛.
证 设,.则可依次估计得:
而易用比式判别法得知它收敛,故级数在上一致收敛. □
12.已知在上一致收敛.试讨论:
当在上满足何种条件时,就能保证在上一致收敛?
解 这里可用一致收敛的柯西准则来讨论.由于在上一致收敛,故,当时,对一切和,恒使.
而
因此当设在上有界,即时,就有
此即表示在上一致收敛. □
.证明:
若对每个是上的单调函数,且都绝对收敛,则在上为绝对一致收敛.
证 由假设条件,对每一个有
由于与都收敛,因此
与
也都收敛,从而收敛.依据优级数判别法,证得在上为一致收敛. □
14.设.试求.
解 由于,而为收敛,因此为一致收敛,于是可以逐项求积.据此便可求得
. □
.设函数在内连续可微,记
试证:
(1)在任何上一致收敛于;
证 (1)由于在上连续,从而一致连续.故,只要
且,便有.而由假设,
所以,当时,对任何,恒有
这就证得,.
(2)利用逐项积分定理,易得
. □
16.证明:
函数在上连续,且有连续的导数.
证 由于,收敛,因此在上一致收敛.又
,收敛,
故在上也一致收敛.
因为在上满足定理和定理的条件,所以在上连续,且有
又因为在上也满足定理的条件,所以在上同样也连续. □
17.试求以下各级数的和函数:
(2).
解(1)设.由于
因此求得.
(2)设.类似地得到
□
上必定不一致收敛;
并可知道定理5.6的条件和结论都不成立. □
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