最新数学模型第四版课后答案姜启源版资料Word格式.docx
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此方法的分配结果为:
此方法的道理是:
记
和
为各宿舍的人数和席位(i=1,2,3代表A、B、C宿舍).
是每席位代表的人数,取
从而得到的
中选较大者,可使对所有的
尽量接近.
再考虑
的分配方案,类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下:
宿舍
(1)
(2)(3)
322
333
455
443
555
667
总计
101010
151515
5.试用微积分方法,建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.
解:
设录像带记数器读数为n时,录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑
到
时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度,可得
两边积分,得
《数学模型》作业解答
第三章1(2008年10月14日)
3.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量.证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样,而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少.
设购买单位重量货物的费用为
其它假设及符号约定同课本.
对于不允许缺货模型,每天平均费用为:
令
, 解得
由
, 得
与不考虑购货费的结果比较,T、Q的最优结果没有变.
对于允许缺货模型,每天平均费用为:
令
, 得到驻点:
与不考虑购货费的结果比较,T、Q的最优结果减少.
2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型.设生产速率为常数
,销售速率为常数
,
.在每个生产周期T内,开始的一段时间
一边生产一边销售,后来的一段时间
只销售不生产,画出贮存量
的图形.设每次生产准备费为
,单位时间每件产品贮存费为
,以总费用最小为目标确定最优生产周期,讨论
的情况.
由题意可得贮存量
的图形如下:
贮存费为
又
贮存费变为
于是不允许缺货的情况下,生产销售的总费用(单位时间内)为
.
得
易得函数
取得最小值,即最优周期为:
.相当于不考虑生产的情况.
.此时产量与销量相抵消,无法形成贮存量.
第三章2(2008年10月16日)
3.在3.3节森林救火模型中,如果考虑消防队员的灭火速度
与开始救火时的火势
有关,试假设一个合理的函数关系,重新求解模型.
考虑灭火速度
与火势
有关,可知火势
越大,灭火速度
将减小,我们作如下假设:
分母
而加的.
总费用函数
最优解为
5.在考虑最优价格问题时设销售期为T,由于商品的损耗,成本
随时间增长,设
.又设单位时间的销售量为
.今将销售期分为
两段,每段的价格固定,记作
.求
的最优值,使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为
,再求
的最优值.
按分段价格,单位时间内的销售量为
.于是总利润为
=
得到最优价格为:
在销售期T内的总销量为
于是得到如下极值问题:
利用拉格朗日乘数法,解得:
即为
第三章3(2008年10月21日)
6.某厂每天需要角钢100吨,不允许缺货.目前每30天定购一次,每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略?
改变后能节约多少费用?
已知:
每天角钢的需要量r=100(吨);
每次订货费
=2500(元);
每天每吨角钢的贮存费
=0.18(元).又现在的订货周期T
=30(天)
根据不允许缺货的贮存模型:
得:
令
,解得:
由实际意义知:
当
(即订货周期为
)时,总费用将最小.
又
=300+100k
=353.33+100k
-
=(353.33+100k)-(300+100k)
=53.33.
故应改变订货策略.改变后的订货策略(周期)为T
,能节约费用约53.33元.
第四章(2008年10月28日)
3.某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用
原料1千克,
原料5千克;
一件乙产品用
原料2千克,
原料4千克.现有
原料20千克,
原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大?
设安排生产甲产品x件,乙产品y件,相应的利润为S
则此问题的数学模型为:
maxS=20x+30y
s.t.
这是一个整线性规划问题,现用图解法进行求解
可行域为:
由直线
:
x+2y=20,
:
5x+4y=70
y
以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.
直线
20x+30y=c在可行域内
平行移动.
易知:
过
与
的交点时,
x
S取最大值.
由
解得
此时
=20
=350(元)
2.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物,每箱的体积、重量以及可获利润如下表:
货物
体积
(立方米/箱)
重量
(百斤/箱)
利润
(百元/箱)
甲
5
2
20
乙
4
10
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米,重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱,使得所获利润最大,并求出最大利润.
解:
设甲货物、乙货物的托运箱数分别为
所获利润为
则问题的数学模型可表示为
这是一个整线性规划问题.
用图解法求解.
可行域为:
及
组成
直线
在此凸四边形区域内平行移动.
的交点时,
取最大值
由
解得
.
3.某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大.并求出最大利润.
设安排生产甲型微波炉
件,乙型微波炉
件,相应的利润为S.
maxS=3x+2y
这是一个整线性规划问题
用图解法进行求解
2x+3y=100,
4x+2y=120
及x=6,y=12组成的凸四边形区域.
3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动.易知:
的交点时,S取最大值.
=3
=100.
第五章1(2008年11月12日)
1.对于5.1节传染病的
模型,证明:
(1)若
,然后减少并趋于零;
单调减少至
(2)
传染病的
模型(14)可写成
(1)
(2)
4.在5.3节正规战争模型(3)中,设乙方与甲方战斗有效系数之比为
初始兵力
相同.
(1)问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率
增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
解:
用
表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
现求
(1)的解:
(1)的系数矩阵为
再由初始条件,得
又由
其解为
(1)
即乙方取胜时的剩余兵力数为
又令
注意到
(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率
增援.则
相轨线为
此相轨线比书图11中的轨线上移了
乙方取胜的条件为
第五章2(2008年11月14日)
6.模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型(只有中心室),在快速静脉注射、恒速静脉滴注(持续时间为
)和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度,并画出血药浓度曲线的图形.
设给药速率为
(1)快速静脉注射:
设给药量为
则
(2)恒速静脉滴注(持续时间为
):
设滴注速率为
解得
(3)口服或肌肉注射:
3种情况下的血药浓度曲线如下:
第五章3(2008年11月18日)
8.在5.5节香烟过滤嘴模型中,
(1)设
求
(2)若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到
处的情况下,进入人体毒物量的区别.
解
(2)对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为
只吸到
处就扔掉的情况下的毒物量为
第六章(2008年11月20日)
1.在6.1节捕鱼模型中,如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律,而单位时间捕捞量为常数h.
(1)分别就
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