高考试题数学理辽宁卷.docx
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高考试题数学理辽宁卷
2006年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数学
(供理科考生使用)
第I卷(选择题共60分)
参考公式:
球的表面积公式
球的体积公式
其中R表示球的半径
如果事件A、B互斥,那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率P,那
么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项.
(1)设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是
(A)1(B)3(C)4(D)8
(2)设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A)是奇函数(B)||是奇函数
(C)-是偶函数(D)+是偶函数
(3)给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是
(A)1(B)2(C)3(D)4
(4)双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是
(A)(B)(C)(D)
(5)设是R上的一个运算,A是R的非空子集.若对任意,则称A对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和法(除数不等于零)四则运算都封闭的是
(A)自然数集(B)整数集(C)有理数集(D)无理数集
(6)△ABC的三内角A,B,C,所对边的长分别为,设向量p、q=
若p∥q,,则角C的大小为
(A)(B)(C)(D)
(7)与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为
(A)(B)
(C)(D)
(8)曲线与曲线的
(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同
(9)在等比数列中,前n项和为,若数列也是等比数列,则等于
(A)(B)3n(C)2n(D)
(10)直线与曲线的公共点的个数为
(A)1(B)2(C)3(D)4
(11)已知函数则的值域是
(A)[-1,1](B)[](C)](D)
(12)设O(0,0),A(1,0),B(0,1),点P是线段AB上的一个动点,.
若,则实数的取值范围是
(A)(B)
(C)(D)
绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数学(供理科考生使用)
第II卷(非选择题共90分)
二.填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分.
(13)设则.
(14)=.
(15)5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员,现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有种.(以数作答)
(16)若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则cos=.
三.解答题:
本大题共小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知函数求:
(Ⅰ)求函数的最大值及取得最大值的自变量x的集合;
(Ⅱ)函数的单调增区间.
(18)(本小题满分12分)
已知正方形ABCD,E、F分别是边AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示,记二面角A—DE—C的大小为
(Ⅰ)证明BF∥平面ADE;
(Ⅱ)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角的余弦值.
(19)(本小题满分12分)
现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资十万元,一年后剩是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中,价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ对乙项目每投资十万元,ξ取0、1、2时,一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量ξ1,ξ2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.
(Ⅰ)求ξ1,ξ2的概率分布和数学期望Eξ1,Eξ2;
(Ⅱ)当Eξ1 (20)(本小题满分14分) 已知点是抛物线上的两个动点,O是坐标原点,向量设圆C的方程为 (Ⅰ)证明线段AB是圆C的直径; (Ⅱ)当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时,求的值. (21)(本小题满分12分) 已知函数 设的极小值点.在[]上,处取得最大值,在取得最小值.将 (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若△ABC有一条边平行于x轴,且面积为2+,求的值. (22)(本小题满分2分) 已知设 (Ⅰ)写出; (Ⅱ)证明: 对任意的,情有| 2006年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供理科考生使用)试题答案与评分参考 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后面部分的解答应得分数的一半;如果后面部分的解答严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分. (1)C (2)D(3)D(4)A(5)C(6)B (7)A(8)A(9)C(10)D(11)C(12)B 二.填空题: 本大题共4小题,每小题4分,共16分. (13)(14)-1(15)48(16) 三、解答题 (17)本小题考查三角公式、三角函数的性制裁及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.满分12分 (I)解法一: ……4分 因此,取得最大值的自变量x的集合是……8分 解法二: =……4分 因此,取得最大值的自变量x的集合是……8分 (II)解: 由题意得 因此,的单调增区间是[].…………12分 (18)本小题主要考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力和思维能力. 满分12分. (I)证明: E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点. ∴ED∥FD,且EB=FD, ∴四边形EBFD是平行四边形, ∴EF∥ED. ∵BD平面AED,而BF平面AED. ∴BF∥平面AED.…………4分 (II)解法一: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上, 过点A用AG⊥平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD. ∵△ACD为正三角形. ∴AC=AD, ∴GC=GD, ∴G在CD的垂直平分线上, 又∵EF是CD的垂直平分线, ∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.…………4分 过G作GH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE. ∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角,即∠AHG=θ. 设除正方形ABCD的边长为2a,连结AF. 在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a, ∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF, ∴AC=. 在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE, ∴AH=,∴∴………12分 解法二: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上. 连结AF,在平面AEF内过点A作AG⊥EF,垂足为G′ ∵△ACD为正三角形,F为CD的中点, ∴AD⊥CD. 又∵EF⊥CD, ∴CD⊥平面AEF, ∵AG′平面AEF, ∴CD⊥AG′, 又∵AG′⊥EF,且CD∩EF=F,CD平面BCDE,EF平面BCDE, ∴AC⊥平面BCDE, ∴G为A在平面BCDE内的射影G, ∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上, 过G作CH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE…………8分 ∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角,即∠AHG=θ. 设原正方形ABCD的边长为2a. 在折后图的△AEF中,AF=,EF=2AE=2a, ∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF ∴AC=. 在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE, ∴AH=,∴∴………12分 解法三: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上. 连结AF,在平面AEF内过点A作AG⊥EF,垂足为G′ ∵△ACD为正三角形,F为CD的中点, ∴AF⊥CD. 又∵EF⊥CD, ∴CD⊥平面AEF, ∵CD平面BCDE, ∴平面AEF⊥平面BCDE. 又∵平面AEF∩平面BCDE=DEF,AG′⊥EF. ∴AG′⊥平面BCDE,即G′为A在平面BCDE内的射影G, ∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.……………………8分 过G作GH⊥DE,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE, ∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角,即∠AHG=θ. ∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF ∴AC=. 在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE, ∴AH=,∴∴………12分 (19)本小题主要考查二项分布、分布列、数学期望等基础知识,考查学生运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. (I)解法一: ξ1的概率分布为 ξ1 1.2 1.18 1.17 P Eξ1=1.2×+1.18×+1.17× =1.18.…………3分 由题设得,即ξ的概率分布为 ξ2 1.3 1.25 0.2 P …………6分 所以ξ2的数学 Eξ2=1.3×+1.25×+0.2× =1.3-+2.5×+0.2× =--0.1p+1.3.…………9分 解法二: ξ1的概率分布为 ξ1 1.2 1.18 1.17 P Eξ1=1.2×+1.18×+1.17× =1.18.…………3分 设Ai表示事件“第i次调整,价格下降”(i=1,2),则 故ξ2的概率分布为 ξ2 1.3 1.25 0.2 P …………6分 所以ξ2的数学 Eξ2=1.3×+1.25×+0.2× =1.3-+2.5×+0.2× =--0.1p+1.3.…………9分 (II)解: 由,得, 整理得, 解得 因为所以,当时,p的取值范围是…………12分 (20)本小题主要考查平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程,点到直线的距离等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力,满分14分. (I)证法一: ①……3分 设点M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则 即 展开上式并将①代入得 故线段AB是圆C的直径. 证法二: ①……3分 若直线(x,y)在以线AB为直径的圆上,则 去分母得 点满足上方程,展开并将①代入得 , 所以线AB是圆C的直径.……6分 证法三: ①……3分 以AB为直径的圆的方程是 , 展开,并将①代入得. 所以线段AB是圆C的直径………………6分 (II)解法一: 设圆C的圆心为C(x,y),则
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