ppt第十二章用MATLAB解最优控制问题及应用实例PPT文档格式.ppt
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,2,系统模型的转换把其他形式转换成状态方程模型G1=ss(G)把其他形式转换成零极点模型G1=zpk(G)把其他形式转换成一般传递函数模型G1=tf(G),3,系统稳定性判据求出系统所有的极点,并观察系统是否有实部大于0的极点。
系统由传递函数(num,den)描述roots(den)系统由状态方程(A,B,C,D)描述eig(A),4,系统的可控性与可观测性分析在MATLAB的控制系统工具箱中提供了ctrbf()函数。
该函数可以求出系统的可控阶梯变换,该函数的调用格式为:
Ac,Bc,Cc,Dc,Tc,Kc=ctrbf(A,B,C)在MATLAB的控制系统工具箱中提供了obsvf()函数。
该函数可以求出系统的可观测阶梯变换,该函数的调用格式为:
Ao,Bo,Co,Do,To,Ko=obsvf(A,B,C),5,系统的时域分析对于系统的阶跃响应,控制系统工具箱中给出了一个函数step()来直接求取系统的阶跃响应,该函数的可以有如下格式来调用:
y=step(G,t)对于系统的脉冲响应,控制系统工具箱中给出了一个函数impulse()来直接求取系统的脉冲响应,该函数的可以有如下格式来调用:
y=impulse(G,t),6,系统的复域与频域分析对于根轨迹的绘制,控制系统工具箱中给出了一个函数rlocus()函数来绘制系统的根轨迹,该函数的可以由如下格式来调用:
R=rlocus(G,k),对于Nyquist曲线的绘制,控制系统工具箱中给出了一个函数nyquist()函数,该环数可以用来直接求解Nyquist阵列,绘制出Nyquist曲线,该函数的可以由如下格式来调用:
rx,ry=nyquist(G,w)对于Bode图,MATLAB控制工具箱中提供了bode()函数来求取、绘制系统的Bode图,该函数可以由下面的格式来调用mag,pha=bode(G,w),12.2用MATLAB解线性二次型最优控制问题,一般情况的线性二次问题可表示如下:
设线性时变系统的方程为其中,为维状态向量,为维控制向量,为维输出向量。
寻找最优控制,使下面的性能指标最小,其中,是对称半正定常数阵,是对称半正定阵,是对称正定阵。
我们用最小值原理求解上述问题,可以把上述问题归结为求解如下黎卡提(Riccati)矩阵微分方程:
这个方程称为代数黎卡提方程。
代数黎卡提方程的求解非常简单,并且其求解只涉及到矩阵运算,所以非常适合使用MATLAB来求解。
方法一:
求解代数黎卡提方程的算法有很多,下面我们介绍一种简单的迭代算法来解该方程,令,则可以写出下面的迭代公式,%*MATLAB程序*%I=eye(size(A);
iA=inv(I-A);
E=iA*(I+A);
G=2*iA2*B;
H=R+B*iA*Q*iA*B;
W=Q*iA*B;
P0=zeros(size(A);
i=0;
while
(1),i=i+1;
P=E*P0*E-(E*P0*G+W)*inv(G*P0*G+H)*(E*P0*G+W)+Q;
if(norm(P-P0)eps),break;
else,P0=P;
endendP=2*iA*P*iA;
我们把这个文件命名为mylq.m,方便我们以后调用来求解代数黎卡提方程。
方法二:
在MATLAB的控制系统工具箱中提供了求解代数黎卡提方程的函数lqr(),其调用的格式为:
K,P,E=lqr(A,B,Q,R)式中输入矩阵为A,B,Q,R,其中(A,B)为给定的对象状态方程模型,(Q,R)分别为加权矩阵Q和R;
返回矩阵K为状态反馈矩阵,P为代数黎卡提方程的解,E为闭环系统的零极点。
这里的求解是建立在MATLAB的控制系统工具箱中给出的一个基于Schur变换的黎卡提方程求解函数are()基础上的,该函数的调用格式为:
X=are(M,T,V),其中,矩阵满足下列代数黎卡提方程,are是AlgebraicRiccatiEquation的缩写。
对比前面给出的黎卡提方程,可以容易得出,方法三:
我们也可以采用care()函数对连续时间代数黎卡提方程求解,其调用方法如下:
P,E,K,RR=care(A,B,Q,R,zeros(size(B),eye(size(A)式中输入矩阵为A,B,Q,R,其中(A,B)为给定的对象状态方程模型,(Q,R)分别为加权矩阵Q和R;
返回矩阵P为代数黎卡提方程的解,E为闭环系统的零极点,K为状态反馈矩阵,RR是相应的留数矩阵Res的Frobenius范数(其值为:
sqrt(sum(diag(Res*Res),或者用Norm(Res,fro)计算)。
采用care函数的优点在于可以设置P的终值条件,例如我们可以在下面的程序中设置P的终值条件为0.2;
0.2。
P,E,K,RR=care(A,B,Q,R,0.2;
0.2,eye(size(A)采用lqr()函数不能设置代数黎卡提方程的边界条件。
例12-1,线性系统为:
,其目标函数是:
确定最优控制。
解:
方法一:
A=01;
-5,-3;
B=0;
1;
Q=500200;
200100;
R=1.6667;
mylqK=inv(R)*B*PPE,运行结果:
K=13.02766.7496P=67.940621.713121.713111.2495E=-0.11110.2222-1.1111-0.7778,方法二:
K,P,E=lqr(A,B,Q,R),运行结果:
K=13.02766.7496P=67.940621.713121.713111.2495E=-7.2698-2.4798,方法三:
P,E,K,RR=care(A,B,Q,R,zeros(size(B),eye(size(A),运行结果:
P=67.940621.713121.713111.2495E=-7.2698-2.4798K=13.02766.7496RR=2.8458e-015,以上的三种方法的运行结果相同。
我们可以得到,最优控制变量与状态变量之间的关系:
在以上程序的基础上,可以得到在最优控制的作用下的最优控制曲线与最优状态曲线,其程序如下:
%*MATLAB程序*%figure(pos,50,50,200,150,color,w);
axes(pos,0.15,0.14,0.72,0.72)ap=A-B*K;
bp=B;
C=1,0;
D=0;
ap,bp,cp,dp=augstate(ap,bp,C,D);
cp=cp;
-K;
dp=dp;
0;
G=ss(ap,bp,cp,dp);
y,t,x=step(G);
plotyy(t,y(:
2:
3),t,y(:
4)ax,h1,h2=plotyy(t,y(:
4);
axis(ax
(1),02.500.1),axis(ax
(2),02.5-10),运行结果:
图12-1最优控制曲线与最优状态曲线,该程序采用augstate函数将状态变量作为输出变量,用于显示;
输出项作为最优控制的输出。
因此,阶跃响应输出y中,y
(1)是系统输出,y
(2)和y(3)是状态变量输出,y(4)是系统控制变量输出。
用plotyy函数进行双坐标显示,并设置相应的坐标范围。
以上三种方法中,第一种方法易于理解黎卡提方程的解法,其解法简单但是并不可靠。
第二种方法比起另两种方法使用方便,不易出错,所以我们推荐使用这种方法。
但是采用lqr()函数不能设置代数黎卡提方程的边界条件,所以,如果题目设置了P的终值条件,我们只能使用第三种方法来求解,例如设置P的终值条件为0.2;
程序如下:
%*MATLAB程序*%A=01;
0.2,eye(size(A),运行结果:
P=67.723321.568521.568511.0961E=-7.3052-2.4723K=13.06086.7775RR=1.2847e-014最优控制变量与状态变量之间的关系:
例12-2,无人飞行器的最优高度控制,飞行器的控制方程如下,是飞行器的高度;
是油门输入;
设计控制律使得如下指标最小,初始状态。
绘制系统状态与控制输入,对如下给定的矩阵进行仿真分析.,a).b).c).d).,解:
线性二次型最优控制指标如下:
其中Q和R分别是对状态变量和控制量的加权矩阵,线性二次型最优控制器设计如下:
1)、Q=diag(1,0,0),R=2时,由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为k1=0.70712.07722.0510,u(t)=k1*x(t);
所画状态响应曲线及控制输入响应曲线如下图12-2所示:
图12-2状态响应曲线及控制输入响应曲线,2)、Q=diag(1,0,0),R=2000时,由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为k2=0.02240.25170.4166,u(t)=k2*x(t);
所画状态响应曲线及控制输入响应曲线如下图12-3所示:
图12-3状态响应曲线及控制输入响应曲线,3)、Q=diag(10,0,0),R=2时,由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为k3=2.23614.38923.3077,u(t)=k3*x(t);
所画状态响应曲线及控制输入响应曲线如下图12-4所示:
图12-4状态响应曲线及控制输入响应曲线,4)、Q=diag(1,100,0),R=2时,由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为k4=0.70717.61124.6076,u(t)=k4*x(t);
所画状态响应曲线及控制输入响应曲线如下图12-5所示:
图12-5状态响应曲线及控制输入响应曲线,由1),2),3),4)可分析如下:
图12-3与图12-2相比,当Q不变,R增大时,各相应曲线达到稳态所需时间增长,即响应变慢;
但波动幅值变小,反馈矩阵变小;
图12-4与图12-2和图12-3相比,当Q对角线上第1个元素增大时,各相应曲线达到稳态所需时间变短,即响应快;
但波动幅值变大,反馈矩阵增大;
由图12-5可知,当Q对角线上第2个元素增大时,状态x1,x2曲线达到稳态所需时间较长,即响应较慢,平缓的趋于零;
状态
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