江西省南昌三中学年高二下学期期中考试数学理试题 Word版含答案文档格式.docx
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“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是( )
A.若f
(1)<1成立,则f(10)<100成立
B.若f
(2)<4成立,则f
(1)≥1成立
C.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
D.若f(4)≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
6、设
、
是两个不同的平面,l、m是两条不重合的直线,下列命题中正确的是()
A.若
,则
B.若
C.若
D.若
7.二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2
,则该二面角的大小为()
A.150°
B.45°
C.60°
D.120°
8、将一个真命题中的“
个平面”换成“
条直线”、“
条直线”换成“
个平面”,若所得到的新命题仍是真命题,则该命题称为“可换命题”,下列四个命题
①垂直于同一个平面的两条直线平行②垂直于同一个平面的两个平面平行;
③平行于同一条直线的两条直线平行④平行于同一个平面的两条直线平行。
其中是“可换命题”的是()
A.①②B.①④C.①③D.③④
9.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,
和
,且长为
的棱与长为
的棱异面,则
的取值范围是()
(A)
(B)
(C)
(D)
10、正方体的八个顶点共可以连成28条直线,从这28条直线中任取2条直线,这2条直线恰好是一对异面直线.则这样不同的异面直线有多_____对()
A、174B、87C、348D84
二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把正确答案填在题中横线上)
11.已知某三棱锥的三视图(单位:
cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于___________cm3.
12.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=
,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上________________________
13.在△ABC中,∠ACB=90°
,AB=8,∠ABC=60°
,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为__________.
14.已知正三棱锥
,点
都在半径为
的球面上,若
两两相互垂直,则球心到截面
的距离为.
15、下面是关于四棱柱的四个命题:
①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;
④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱。
其中,真命题的编号是____(写出所有真命题的编号)
三、解答题(本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分12分) 六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?
(1)甲不站两端;
(2)甲、乙必须相邻;
(3)甲、乙不相邻;
(数字作答)
17.(本小题满分12分)已知:
正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为2
,侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC的中点.
(1)求证:
平面B1EF⊥平面BDD1B1;
(2)求点D1到平面B1EF的距离.
18.(本小题满分12分)如图所示,已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,E是棱CC1上的点,且BE⊥B1C.
(1)求CE的长;
(2)求证:
A1C⊥平面BED;
(3)求A1B与平面BDE夹角的正弦值.
19.(本小题满分12分)在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2
,M、N分别为AB、SB的中点,求点B到平面CMN的距离.
20、(本小题满分13分)一段楼梯共有12个阶梯,某人上楼时,有时迈一阶有时迈两阶,
(1)此人共用7步走完,问有多少种不同的上楼的方法。
(2)试求此人共有多少种不同的上楼的方法。
21.(本小题满分14分).如图,棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC=60°
,平面AA1C1C⊥平面ABCD,∠A1AC=60°
.
(1)求异面直线BD和AA1所成的角;
(2)求二面角D—A1A—C的平面角的余弦值;
(3)在直线CC1上否存在点P,使BP∥平面DA1C1?
若存在,求出点P的位置;
若不存在,说明理由.
南昌市第三中学2013-2014学年度下学期期中考试
高二数学(理)答卷
一、选择题(每小题5分,共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(每小题5分,共25分)
11、.12、.13、.
14、_.15、_______________.
高二数学(理)答案
1-5CDCCD6-10DCCAA
11、112、
13、
14、
15、
16、解:
(1)
=480,
(2)
=240
(3)
=480
17:
(1)略
(2)h=
18:
(1)CE=1
(2)略
19:
h=
20:
21:
[解析] 连接BD交AC于O,则BD⊥AC,连接A1O,在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°
,
∴A1O2=AA12+AO2-2AA1·
AO·
cos60°
=3.∴AO2+A1O2=AA12.
∴A1O⊥AO,∵平面AA1C1C⊥平面ABCD,∴A1O⊥平面ABCD.
∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(
,0,0),C(0,1,0),D(-
,0,0),A1(0,0,
).
(1)∵
=(-2
,0,0),
=(0,1,
),
∴
·
=0×
(-2
)+1×
0+
×
0=0,
∴BD⊥AA1,即异面直线BD和AA1所成的角为90°
.
(2)∵OB⊥平面AA1C1C,
∴平面AA1C1C的法向量n1=(1,0,0).
设n2=(x,y,z)是平面AA1D的一个法向量,则
取n2=(1,
,-1).
∴cos〈n1,n2〉=
=
∴二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是
(3)假设在直线CC1上存在点P,使BP∥平面DA1C,
设
=λ
,P(x,y,z),
则(x,y-1,z)=λ(0,1,
∴P(0,1+λ,
λ),
=(-
,1+λ,
λ).
设n3=(x3,y3,z3)是平面DA1C1的一个法向量,则
不妨取n3=(1,0,-1).
又∵
∥平面DA1C1,∴n3·
=0,
∴-
-
λ=0,∴λ=-1,
即点P在C1C的延长线上,且使C1C=CP.
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