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,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,一维搜索的计算步骤,第一步:
在给定方向上确定一个包含函数极小点的初始区间,即:
确定函数的搜索区间;
第二步:
采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长,即:
求出该搜索区间的最优步长和一维极小点。
一维搜索的计算方法,利用无约束目标函数的一阶导数为零求解黄金分割法(0.618法)二次插值法(近似抛物线法),5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,1.搜索区间的确定,进退试算法的算法思想:
按照一定的规律给出若干试算点,依次比较各试算点的函数值的大小,直到找到相邻三点的函数值按“高-低-高”变化的区间为止。
估计极小点所在的大致位置,直接给出搜索区间;
进退试算法确定搜索区间。
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,1.搜索区间的确定,
(1)给定初始点和初始步长;
(2)确定试算点及相应的函数值;
(3)比较试算点函数值,确定搜索方向和区间。
进退试算法的运算步骤:
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,1.搜索区间的确定,若,,说明极小点在试算点的右侧,前进试算;
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,1.搜索区间的确定,若,,说明极小点在试算点的左侧,后退试算;
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,2.黄金分割法,黄金分割法的算法思想:
通过比较单峰区间内两点函数值,不断舍弃单峰区间的左端或右端一部分,使区间按照固定区间缩短率(缩小后的新区间和原区间长度之比)逐步缩短,直到极小点所在的区间缩短到给定的误差范围内,而得到近似最优解。
序列消去原理,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,黄金分割法的序列消去,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,2.黄金分割法,黄金分割法:
按区间全长的0.618倍选取两个对称的内分点。
注意:
迭代过程中,除初始区间需要找两个内分点,每次缩短的新区间内,只需再计算一个新内点及其函数值。
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,2.黄金分割法,黄金分割法的运算步骤,
(2)在区间a,b内取两个内分点并计算其函数值:
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,2.黄金分割法,(3)比较试算点函数值,确定搜索方向和区间。
(三种情况),黄金分割法的运算步骤,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,2.黄金分割法,(4)判断迭代终止条件,黄金分割法的运算步骤,(5)输出一维优化的最优解,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,2.黄金分割法,算例:
黄金分割法程序实现,
(1)已知初始区间和计算精度,
(2)在给定初始区间内取两个内分点并计算其函数值,(3)比较内分点函数值,缩短搜索区间,消去右区间5.708,8,构造新区间a,b=2,5.708,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,M=2.00008.00004.29205.7080-1.62272.62536.00002.00005.70803.41654.2920-2.2430-1.62273.70802.00004.29202.87553.4165-1.8601-2.24302.29202.87554.29203.41653.7509-2.2430-2.18701.41652.87553.75093.20993.4165-2.1659-2.24300.87543.20993.75093.41653.5443-2.2430-2.24800.54103.41653.75093.54433.6232-2.2480-2.23480.33453.41653.62323.49543.5443-2.2500-2.24800.20673.41653.54433.46533.4954-2.2488-2.25000.12783.46533.54433.49543.5141-2.2500-2.24980.07903.46533.51413.48393.4954-2.2497-2.25000.04883.48393.51413.49543.5026-2.2500-2.25000.03023.49543.51413.50263.5070-2.2500-2.25000.01873.49543.50703.49983.5026-2.2500-2.25000.01153.49543.50263.49813.4998-2.2500-2.25000.0072,运算结果,xp=3.4990f_xp=-2.2500i=15,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,3.二次插值法,二次插值法的算法思想:
在给定的搜索区间中,插入一个内分点,利用三个点(两个区间端点和一个内分点)及其函数值构造二次插值函数,并将插值函数的极小点作为新的插值点不断缩小搜索区间,以得到目标函数的极小点。
二次插值函数:
令其一阶导数等于零,即:
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,3.二次插值法,二次插值法的运算步骤,
(1)给定初始搜索区间和计算精度;
(2)计算二次插值结点及其函数值;
(3)构造二次插值函数,计算其极小值及对应的目标函数值;
(4)缩短单谷搜索区间(分四种情况讨论);
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,二次插值法的区间缩短,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,3.二次插值法,二次插值法的运算步骤,
(1)给定初始搜索区间和计算精度;
(5)判断迭代终止条件。
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法,搜索区间的确定黄金分割法二次插值法,解决一维目标函数的求最优问题;
多维问题在既定方向上寻最优步长的一维搜索。
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.1一维优化方法5.3.2需要梯度信息的多维优化方法5.3.3不需要梯度信息的多维优化方法,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.2需要梯度信息的多维优化方法,1.梯度法,梯度法的算法思想:
将多维无约束优化问题转化为一系列按照函数下降值最快方向的一维搜索问题。
n元函数的梯度,梯度是一个向量,梯度方向是函数具有最大变化率的方向。
函数的最速上升方向:
函数的最速下降方向:
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.2需要梯度信息的多维优化方法,1.梯度法,梯度法的运算步骤,
(1)确定搜索方向:
(2)计算最优步长:
(3)判断迭代终止:
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,试用梯度法求解目标函数的最优解,取初始点,,迭代精度为0.1。
解:
目标函数的梯度,
(1)第一步迭代,求,继续迭代,
(2)第二步迭代,求,迭代终止,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,算例1:
试用梯度法求解下述目标函数的最优解。
取初始点,,迭代精度为0.1。
目标函数的梯度,
(1)第一步迭代,求,继续迭代.,
(2)第二步迭代,求得,(3)第三步迭代,求得,(4)第四步迭代,求得,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,算例1:
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.2需要梯度信息的多维优化方法,1.梯度法,梯度法的算法特点,优点:
(1)迭代过程计算简单,要求的存储量少;
(2)远离极小点时函数下降收敛速度较快,对初始点要求不高。
缺点:
(1)对复杂的优化问题,等值线偏心严重,形成“锯齿现象”;
(2)接近极小点时收敛速度慢。
Newton法,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.2需要梯度信息的多维优化方法,2.牛顿法,牛顿法的算法思想:
根据目标函数的负梯度和Hessian矩阵(二阶偏导数矩阵)构造搜索方向。
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,算例2:
试用牛顿法求解下述目标函数的最优解。
目标函数的梯度,第一步迭代,求,迭代终止,目标函数的Hessian矩阵,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.2需要梯度信息的多维优化方法,2.牛顿法,牛顿法的算法特点,优点:
收敛速度快。
(1)数值计算稳定性不好,对起始点要求较高;
(2)需要计算Hessian矩阵及其逆矩阵,计算量大。
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.2需要梯度信息的多维优化方法,梯度法:
计算简单、对起始点要求不高、接近极小点收敛速度慢;
牛顿法:
计算量大、对起始点要求较高、收敛速度快,变尺度法,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.2需要梯度信息的多维优化方法,3.变尺度法,变尺度法基于Newton法的基本原理而又对Newton法作了重要改进,又称为拟Newton法;
变尺度法是求解无约束优化问题最有效的算法之一,是目前应用比较广泛的一种算法;
变尺度法的种类很多,最重要的两种:
DFP变尺度法和BFGS变尺度法。
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.2需要梯度信息的多维优化方法,3.变尺度法,变尺度法的算法思想:
利用Newton法的迭代形式,但并不直接计算Hessian矩阵的逆矩阵,而用一个对称正定矩阵近似地代替,该正定对称矩阵中迭代过程中经过不断修正,逐步逼近Hessian矩阵的逆矩阵。
迭代格式:
梯度法的迭代公式,牛顿法的迭代公式,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,5.3.2需要梯度信息的多维优化方法,3.变尺度法,变尺度法的关键问题:
变尺度矩阵在迭代过程中逐步逼近Hessian矩阵的逆矩阵,每一迭代步如何对其进行修正?
DFP修正公式:
BFGS修正公式:
5机械最优化设计5.3无约束优化方法,算例3:
试用变尺度法求解下述目标函数的最优解。
目标函数的梯度,第一步迭代,继续迭代.,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,第二步迭代,5机械最优化设计5.3无约束优化方法,梯度法,牛顿法,DFP变尺度法,BFGS变尺度法,原始牛顿法,修正牛顿法,变尺度法(拟牛顿法),5.3.2需要梯度信息的多维优化方法,5机械最优
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