离散数学王元元习题解答1Word文档格式.docx
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p∨q读作“p或者q”、“p或q”。
蕴涵词(implication)“如果……,那么……”(if…then…),用符号→表示。
设p,q表示两命题,那么p→q表示命题“如果p,那么q”。
当p真而q假时,命题p→q为假,否则均认为p→q为真。
p→q中的p称为蕴涵前件,q称为蕴涵后件。
p→q的读法较多,可读作“如果p则q”,“p蕴涵q”,“p是q的充分条件”,“q是p的必要条件”,“q当p”,“p仅当q”等等。
数学中还常把q→p,┐p→┐q,┐q→┐p分别叫做p→q的逆命题,否命题,逆否命题。
双向蕴涵词(two-wayimplication)“当且仅当”(ifandonlyif),用符号↔表示之。
设p,q为两命题,那么p↔q表示命题“p当且仅当q”,“p与q等价”,即当p与q同真值时p↔q为真,否则为假。
p↔q读作“p双向蕴涵q”,“p当且仅当q”,“p等价于q”。
由于“当且仅当”“等价”常在其它地方使用,因而用第一种读法更好些。
1.1.3命题公式及其真值表
我们把表示具体命题及表示常命题的p,q,r,s与f,t统称为命题常元(propositionconstant)。
深入的讨论还需要引入命题变元(propositionvariable)的概念,它们是以“真、假”或“1,0”为取值围的变元,为简单计,命题变元仍用p,q,r,s等表示。
定义1.1以下三条款规定了命题公式(propositionformula)的意义:
(1)命题常元和命题变元是命题公式,也称为原子公式或原子。
(2)如果A,B是命题公式,那么(┐A),(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)也是命题公式。
(3)只有有限步引用条款
(1),
(2)所组成的符号串是命题公式。
如果公式A含有命题变元p1,p2,…,pn,记为A(p1,…,pn),并把联结词看作真值运算符,那么公式A可以看作是p1,…,pn的真值函数。
对任意给定的p1,…,pn的一种取值状况,称为指派(assignments),用希腊字母α,β等表示,A均有一个确定的真值。
当A对取值状况α为真时,称指派α弄真A,或α是A的成真赋值,记为α(A)=1;
反之称指派α弄假A,或α是A的成假赋值,记为α(A)=0。
对一切可能的指派,公式A的取值可能可用一表来描述,这个表称为真值表(truthtable)。
当A(p1,…,pn)中有k个联结词时,公式A的真值表应为2n行、k+n列(不计表头)。
1.1.4语句的形式化
用我们已有的符号语言,可以将许多自然语言语句形式化。
语句形式化要注意以下几个方面。
要善于确定原子命题,不要把一个概念硬拆成几个概念,例如“弟兄”是一个概念,不要拆成“弟”和“兄”、“我和他是弟兄”是一个原子命题。
要善于识别自然语言中的联结词(有时它们被省略)。
例如“风雨无阻,我去上学”一句,可理解为“不管是否刮风、是否下雨我都去上学”。
否定词的位置要放准确。
需要的括号不能省略,而可以省略的括号,在需要提高公式可读性时亦可不省略。
另外要注意的是,语句的形式化未必是唯一的。
习题解答
练习1.1
1、判断下列语句是否是命题,若是命题则请将其形式化:
(1)a+b
(2)x>
(3)“请进!
”
(4)所有的人都是要死的,但有人不怕死。
(5)我明天或后天去。
(6)我明天或后天去的说法是谣传。
(7)我明天或后天去或天津。
(8)如果买不到飞机票,我哪儿也不去。
(9)只要他出门,他必买书,不管他余款多不多。
(10)除非你陪伴我或代我雇辆车子,否则我不去。
(11)只要充分考虑一切论证,就可得到可靠见解;
必须充分考虑一切论证,才能得到可靠见解。
(12)如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图,那么我不了解柏拉图。
(13)不管你和他去不去,我去。
(14)侈而惰者贫,而力而俭者富。
(韩非:
《韩非子∙显学》)
(15)骐骥一跃,不能十步;
驽马十驾,功在不舍;
锲而舍之,朽木不折;
锲而不舍,金石可镂。
(荀况:
《荀子∙劝学》)
解
(1)a+b不是命题
0不是命题(x是变元)
”不是命题
是命题
可表示为p∧┐q,其中p:
所有的人都是要死的,q:
所有的人都怕死
(5)我明天或后天去。
是命题
可表示为p∨q,其中p:
我明天去;
q:
我后天去
(6)我明天或后天去的说法是谣传。
可表示为┐(p∨q),其中p、q同(5)
(7)我明天或后天去或天津。
可表示为p∨q∨r∨s,其中p:
我明天去,q:
我明天去天津,r:
我后天去,s:
我后天去天津
(8)如果买不到飞机票,我哪儿也不去。
可表示为┐p→┐q,其中,p:
我买到飞机票,q:
我出去
(9)只要他出门,他必买书,不管他余款多不多。
可表示为(p∧q→r)∧(┐p∧q→r)或q→r,其中p:
他余款多,q:
他出门,r:
他买书
(10)除非你陪伴我或代我雇辆车子,否则我不去。
可表示为(p∨q)↔r,其中p:
你陪伴我,q:
你代我雇车,r:
我去
(11)只要充分考虑一切论证,就可得到可靠见解;
可表示为(p→q)∧(q→p)或p↔q,其中p:
你充分考虑了一切论证,q:
你得到了可靠见解
可表示为(q→p)→┐q,其中p:
我懂得希腊文,q:
我了解柏拉图
可表示为(p→r)∧(q→r)∧(┐p→r)∧(┐q→r)或r,其中p:
你去,q:
他去,r:
(14)侈而惰者贫,而力而俭者富。
《韩非子∙显学》)是命题
可表示为((p∧q)→r)∧((┐p∧┐q)→┐r),其中p:
你奢侈,q:
你懒惰,r:
你贫困
《荀子∙劝学》)是命题
可表示为(p→┐q)∧(s→r)∧(m∧n→┐o)∧(m∧┐n→v),其中p:
骐骥一跃,q:
骐骥一跃十步,r:
驽马行千里,s:
驽马不断奔跑,m:
你雕刻,n:
你放弃,o:
将朽木折断,v:
金石可雕刻
2、判定下列符号串是否为公式,若是,请给出它的真值表,并请注意这些真值表的特点(公式中省略了可以省略的括号):
(1)┐(p)(p为原子命题)
(2)(p∨qr)→s
(3)(p∨q)→p
(4)p→(p∨q)
(5)┐(p∨┐p)
(6)p∧(p→q)→q
(7)p∧(p→q)∧(p→┐q)
(8)(p→q)↔(┐q→┐p)
(9)┐(p∨q)↔┐q∧┐p
(10)┐p∨q↔(p→q)
(11)(p→q)∧(q→r)→(p→r)
(12)(p∨q→r)↔(p→r)∧(q→r)
解
(1)┐(p)不是公式
(2)(p∨qr)→s不是公式
(3)(p∨q)→p是公式
p
q
p∨q
(p∨q)→p
p→(p∨q)
1
(4)p→(p∨q)是公式(真值表见上表,恒真)
(5)┐(p∨┐p)是公式(恒假)
p
┐p
p∨┐p
┐(p∨┐p)
(6)p∧(p→q)→q是公式(恒真)
p→q
p∧(p→q)
p∧(p→q)→q
(7)p∧(p→q)∧(p→┐q)是公式(恒假)
┐q
p→┐q
p∧(p→q)∧(p→┐q)
(8)(p→q)↔(┐q→┐p)是公式(恒真)
┐q→┐p
(p→q)↔(┐q→┐p)
(9)┐(p∨q)↔┐q∧┐p是公式(恒真)
┐(p∨q)
┐q∧┐p
┐(p∨q)↔┐q∧┐p
(10)┐p∨q↔(p→q)是公式(恒真)
┐p∨q
┐p∨q↔(p→q)
(11)(p→q)∧(q→r)→(p→r)是公式(恒真)
r
q→r
p→r
(p→q)∧(q→r)
(p→q)∧(q→r)→(p→r)
(12)(p∨q→r)↔(p→r)∧(q→r)是公式(恒真)
p∨q→r
(p→r)∧(q→
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