解析几何第四版课后答案文档格式.docx
- 文档编号:14314877
- 上传时间:2022-10-22
- 格式:DOCX
- 页数:33
- 大小:575.27KB
解析几何第四版课后答案文档格式.docx
《解析几何第四版课后答案文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《解析几何第四版课后答案文档格式.docx(33页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(1)
;
(2)
(3)
(4)
(5)
.
相等的矢量对是
(2)、(3)和(5);
互为反矢量的矢量对是
(1)和(4)。
1.2矢量的加法
1.要使下列各式成立,矢量
应满足什么条件?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
所在的直线垂直时有
;
同向时有
(3)
且
反向时有
(5)
同向,且
时有
1.3数量乘矢量
1试解下列各题.
⑴化简
.
⑵已知
,
,求
⑶从矢量方程组
,解出矢量
解⑴
⑵
.
2已知四边形
中,
,对角线
的中点分别为
解
3设
,证明:
三点共线.
证明∵
∴
共线,又∵
为公共点,从而
4在四边形
,证明
为梯形.
证明∵
∥
,∴
6.设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点,证明:
三中线矢量
可以构成一个三角形.
[证明]:
从而三中线矢量
构成一个三角形。
7.设L、M、N是△ABC的三边的中点,O是任意一点,证明
+
=
.
[证明]
=
由上题结论知:
8.如图1-5,设M是平行四边形ABCD的中心,O是任意一点,证明
=4
因为
(
),
),
所以2
)
所以
9在平行六面体
(参看第一节第4题图)中,证明
证明
10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半.
证明已知梯形
,两腰中点分别为
,连接
,∴
,即
,故
平行且等于
11.用矢量法证明,平行四边行的对角线互相平分.
如图1-4,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点
但
由于
而
不平行于
,
从而OA=OC,OB=OD。
12.设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心,证明:
+…+
+
=λ
……
所以2(
=λ(
所以(λ-2)(
)=
显然λ≠2,即λ-2≠0.
所以
13.在12题的条件下,设P是任意点,证明:
证明:
即
1.4矢量的线性关系与矢量的分解
1.在平行四边形ABCD中,
(1)设对角线
求
解:
.设边BC和CD的
(2)中点M和N,且
。
2.在平行六面体ABCD-EFGH中,设
三个
面上对角线矢量设为
试把矢量
写成
的线性组合。
3.设一直线上三点A,B,P满足
(λ≠-1),O是空间任意一点,求证:
如图1-7,因为
-
=λ(
(1+λ)
+λ
从而
4.在
中,设
(1)设
是边
三等分点,将矢量
分解为
的线性组合;
(2)设
是角
的平分线(它与
交于
点),将
的线性组合
,同理
(2)因为
且
方向相同,
由上题结论有
5.在四面体
中,设点
是
的重心(三中线之交点),求矢量
对于矢量
的分解式。
的重心。
连接
并延长与BC交于P
同理
CO
(1)GP
(2)AB
(3)(图1)
由
(1)
(2)(3)得
即
6.用矢量法证明以下各题
(1)三角形三中线共点
设BC,CA,AB中,点分别为L,M,N。
AL与BM交于
,AL于CN交于
BM于CN交于
,取空间任一点O,则A
A
NM
BLC
三点重合O
三角形三中线共点(图2)
(第3页)
7.已知矢量
不共线,问
是否线性相关?
设存在不全为0的
,使得
即
故由已知
不共线得
与假设矛盾,故不存在不全为0的
成立。
线性无关。
8.证明三个矢量
=-
+3
+2
-6
=-3
+12
+11
共面,其中
能否用
线性表示?
如能表示,写出线性表示关系式.
由于矢量
不共面,即它们线性无关.
考虑表达式λ
+μ
+v
λ(-
)+μ(4
)+v(-3
或(-λ+4μ-3v)
+(3λ-6μ+12v)
+(2λ+2μ+11v)
线性无关,故有
解得λ=-10,μ=-1,v=2.
由于λ=-10≠0,所以
能用
线性表示
9.证明三个矢量
共面。
三个矢量线性相关,从而三个矢量共面。
//
故A,B,C三点共线.
1.5标架与坐标
3.在空间直角坐标系{O;
}下,求P(2,-3,-1),M(a,b,c)关于
(1)坐标平面;
(2)坐标轴;
(3)坐标原点的各个对称点的坐标.
M(a,b,c)关于xOy平面的对称点坐标为(a,b,-c),
M(a,b,c)关于yOz平面的对称点坐标为(-a,b,c),
M(a,b,c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,-b,c),
M(a,b,c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,-b,-c),
M(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b,-c),
M(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(-a,-b,c).
类似考虑P(2,-3,-1)即可.
8.已知矢量
的分量如下:
(1)
={0,-1,2},
={0,2,-4},
={1,2,-1};
(2)
={1,2,3},
={2,-1,0},
={0,5,6}.
试判别它们是否共面?
能否将
表成
的线性组合?
若能表示,写出表示式.
[解]:
(1)因为
=0,所以
三矢量共面,
又因为
的对应坐标成比例,即
,但
故不能将
的线性组合.
(2)因为
三矢量共面.
又因为
的对应坐标不成比例,即
故可以将
的线性组合.
设
亦即{0,5,6}=λ{1,2,3}+μ{2,-1,0}
从而
解得λ=2,μ=-1,
所以
=2
7.已知A,B,C三点坐标如下:
(1)在标架
下,
(2)在标架
判别它们是否共线?
若共线,写出
的线形关系式.
(1)因为
所以
共线
(2)
设
不存在
不共线.
得
.
9.已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标.
答A(-1,2,4),B(8,-4,2).
10.证明:
四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点,且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.
设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi,欲证AiGi交于一点(i=1,2,3,4).
在AiGi上取一点Pi,使
=3
从而
设Ai(xi,yi,zi)(i=1,2,3,4),则
G1
G2
G3
G4
P1(
≡P1(
).
同理得P2≡P3≡P4≡P1,所以AiGi交于一点P,且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.
1.6矢量在轴上的射影
1.已知矢量
与单位矢量
的夹角为
,且
,求射影矢量
与射影
,又如果
[解]射影
射影矢量
射影
2试证明:
射影l(λ
λ
+…+λn
)=λ1射影l
射影l
+…+λn射影l
用数学归纳法来证.
当n=2时,有
射影l(λ1
λ2
)=射影l(
)+射影l(
+λ2射影l
假设当n=k时等式成立,即有
射影l(
+…+λk射影l
欲证当n=k+1时亦然.事实上
=射影l[(
)+
]
=射影l(
=λ1射影l
+λk+1射影l
故等式对自然数n成立.
1.7两矢量的数
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 解析几何 第四 课后 答案