高数二重积分习题解答Word下载.docx
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,且
在D上连续,试用二重积分表示该板上的全部电荷Q.
4.将一平面薄板铅直浸没于水中,取x轴铅直向下,y轴位于水平面上,并设薄板占有xOy平面上的闭区域D,试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力
5.利用二重积分性质,比较下列各组二重积分的大小
与
,其中D是由x轴,y轴及直线x+y=1所围成的区域;
,其中D是矩形区域:
0≤x≤1,0≤y≤1;
(3)
,其中D是任一平面有界闭区域;
(4)
–1≤x≤0,0≤y≤1;
(1)在区域D内部,
,所以I1>
I2;
(2)在区域D内部,
,故
,所以I1>
?
(3)由于
,所以I1<
(4)在区域D内部,
I2
6.利用二重积分性质,估计下列二重积分的值
(1)由于
的面积为32,在其中
,而等号不恒成立,故
(2)由于
的面积为
,在其中
注:
原题有误?
还是原参考答案有误?
如将
改为
,则区域面积为200,结论为
(4)由于
.
二级
7.设f(x,y)是连续函数,试求极限:
先用积分中值定理,再利用函数的连续性,即得
8.设f(x,y)在有界闭区域D上非负连续,证明:
(1)若f(x,y)不恒为零,则
(2)若
,则f(x,y)≡0
(1)若f(x,y)不恒为零,则存在
,
,利用连续函数的保号性,存在
的一个邻域
,在其上恒有
,于是
,而
,所以
(2)假若f(x,y)不恒为零,则由上题知
,矛盾,故f(x,y)≡0.
9.计算下列二重积分:
(5)
第九章第二节
10.画出下列各题中给出的区域D,并将二重积分
化为两种次序不同的二次积分:
(1)D由曲线y=lnx,直线x=2及
轴所围成;
(2)D由抛物线y=x2与直线2x+y=3所围成;
(3)D由y=0及y=sinx(0≤x≤π)所围成;
(4)D由曲线y=x3,y=x所围成;
(5)D由直线y=0,y=1,y=x,y=x–2所围成
本题图略,建议画出
如将“D由曲线y=x3,y=x所围成”改为“D由曲线
所围成”,则答案为原参考答案
11.计算下列二重积分:
,D由曲线x=2,y=x,xy=1所围成;
,D由点(0,0),(π,0),(π,π)为顶点的三角形区域;
,D由抛物线
和y=x2围成;
,D由抛物线y2=x与直线y=x–2所围成;
,D由直线y=x,y=2和曲线x=y3所围成
12.画出下列各题中的积分区域,并交换积分次序(假定f(x,y)在积分区域上连续):
(6)
13.计算下列二次积分:
14.利用积分区域的对称性和被积函数关于x或y的奇偶性,计算下列二重积分:
(1)设
,则
(3)由于积分区域关于
对称,被积函数是关于y的奇函数,故
(4)设
15.利用极坐标化二重积分
为二次积分,其中积分区域D为:
16.利用极坐标计算下列二重积分:
,D:
第一象限中由圆
及直线
所围成.
(4)
本小题与第9大题第(5)小题相同.
17.设r,θ为极坐标,在下列积分中交换积分次序:
18.计算下列二次积分:
19.计算下列二重积分:
三级
20.选择适当坐标计算下列各题:
,其中D是由双曲线xy=1与直线y=x,x=2围成;
,其中
,其中D是直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>
0)围成;
本小题与第11大题第
(1)小题重复.
21.用适当的变量变换,计算下列二重积分:
,中D是椭圆形闭区域
位于第一象限内的部分;
,D是由双曲线xy=1,xy=2与直线x=y,x=4y所围成的在第一象限内的闭区域;
,D是椭圆形闭区域
,D是闭区域|x|+|y|≤1;
,其中D是以(π,0),(3π,2π),(2π,3π),(0,π)为顶点的平行四边形;
参考答案:
(提示:
作变换
);
(5)78π5(提示:
)
(1)作变换
(2)作变换
(3)作变换
(4)作变换
(5)作变换
(原参考答案有误?
22.利用二重积分求下列平面区域的面积:
(1)D由曲线
及x=1围成;
(2)D由曲线y=x+1,y2=–x–1围成;
(3)D由双纽线
围成;
(6)D由曲线
(7)D由曲线y=x3,y=4x3,x=y3,x=4y3所围成的第一象限部分
(3)4;
(7)
(3)双纽线
用极坐标表示
(6)曲线
23.利用二重积分求下列各题中的立体Ω的体积:
(1)Ω为第一象限中由圆柱面y2+z2=4与平面x=2y,x=0,z=0所围成;
(注:
象限应为卦限?
(2)Ω由平面y=0,z=0,y=x及6x+2y+3z=6围成;
24.设f(x)在[0,1]上连续,D由点(0,0)、(1,0)、(0,1)为顶点的三角形区域,证明:
将二重积分化为二次积分,再用积分变换u=x+y,然后交换积分顺序
25.设f(x)连续,证明:
作变量变换
26.设f(x)在[a,b]上连续,证明:
设区域
27.设f(x)在[a,b]上连续,f(x)>
0,证明:
所以
28.在曲线族y=c(1–x2)(c>
0)中试选一条曲线,使这条曲线和它在(–1,0)及(1,0)两点处的法线所围成的图形面积最小
曲线在(1,0)处的法线为
,由对称性知所围图形面积为
令
,得唯一驻点
(负值舍去)
又由于该实际问题的最小值存在,故当
时,所围图形面积最小,为
29.设f(x)是连续函数,区域D由y=x3,y=1,x=–1围成,计算二重积分
将D分成两块,记为
则由函数的奇偶性与积分区域的对称性得
30.设f(x)、g(x)在[0,1]上连续且都是单调减少的,试证:
设
类似地有
,两式相加,并利用条件f(x)、g(x)在[0,1]上连续且都是单调减少的,就有
,即
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