对数函数及其性质对数的公式互化详尽的讲解文档格式.docx
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0),即两个正数的商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数.
③logaMn=n·
logaM(a>
0,n∈R),即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数.
(2)对数的运算性质注意点
①必须注意M>
0,例如loga[(-3)×
(-4)]是存在的,但是loga(-3)与loga(-4)均不存在,故不能写成loga[(-3)×
(-4)]=loga(-3)+loga(-4).
②防止出现以下错误:
loga(M±
N)=logaM±
logaN,loga(M·
N)=logaM·
logaN,loga
=
,logaMn=(logaM)n.
3.对数换底公式
在实际应用中,常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底公式:
logbN=
(b>
0,且b≠1;
c>
0,且c≠1;
N>
0).
证明设logbN=x,则bx=N.两边取以c为底的对数,
得xlogcb=log.所以x=
,即logbN=
.
换底公式体现了对数运算中一种常用的转化,即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数,这是数学转化思想的具体应用.
由换底公式可推出下面两个常用公式:
(1)logbN=
或logbN·
logNb=1(N>
0,且N≠1;
b>
0,且b≠1);
(2)logbnNm=
logbN(N>
n≠0,m∈R)
题型一正确理解对数运算性质
对于a>
0且a≠1,下列说法中,正确的是()
①若M=N,则logaM=logaN;
②若logaM=logaN,则M=N;
③若logaM2=logaN2,则M=N;
④若M=N,则logaM2=logaN2.
A.①与③B.②与④C.②D.①、②、③、④
解析在①中,当M=N≤0时,logaM与logaN均无意义,因此logaM=logaN不成立.
在②中,当logaM=logaN时,必有M>
0,且M=N,因此M=N成立.
在③中,当logaM2=logaN2时,有M≠0,N≠0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必有M=N.例如,M=2,N=-2时,也有logaM2=logaN2,但M≠N.
在④中,若M=N=0,则logaM2与logaN2均无意义,因此logaM2=logaN2不成立.
所以,只有②成立.
答案C
点评正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件,使用运算性质时,应牢记公式的形式及公式成立的条件.
题型二对数运算性质的应用
求下列各式的值:
(1)2log32-log3
+log38-5log53;
(2)lg25+
lg8+lg5·
lg20+(lg2)2;
(3)
分析利用对数的性质求值,首先要明确解题目标是化异为同,先使各项底数相同,才能使用性质,再找真数间的联系,对于复杂的真数,可以先化简再计算.
解
(1)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3
=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.
(2)原式=2lg5+2lg2+lg
·
lg(2×
10)+(lg2)2
=2lg(5×
2)+(1-lg2)·
(lg2+1)+(lg2)2
=2+1-(lg2)2+(lg2)2=3.
(3)∵
=-
点评对数的求值方法一般有两种:
一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;
另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.
题型三对数换底公式的应用
计算:
(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
分析由题目可获取以下主要信息:
本题是一道对数化简求值题,在题目中各个对数的底数都各不相同.
解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值.
解方法一原式=
log25·
(3log52)
=13log25·
=13.
方法二原式=
点评方法一是先将括号内换底,然后再将底统一;
方法二是在解题方向还不清楚的情况下,一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底),然后再化简.上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法.
已知log(x+3)(x2+3x)=1,XX数x的值.
错解由对数的性质可得x2+3x=x+3.
解得x=1或x=-3.
错因分析对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1,这点在解题中忽略了.
正解由对数的性质知
解得x=1,故实数x的值为1.
对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一,主要性质有:
loga1=0,logaa=1,alogaN=N(a>
0,且a≠1,N>
1.(XX高考)方程9x-6·
3x-7=0的解是________.
解析∵9x-6·
3x-7=0,即32x-6·
3x-7=0
∴(3x-7)(3x+1)=0
∴3x=7或3x=-1(舍去)
∴x=log37.
答案log37
2.(XX高考)设g(x)=
则g
=____.
解析g
=ln
<
0,g
=eln
,
∴g
答案
1.对数式log(a-3)(7-a)=b,实数a的取值范围是()
A.(-∞,7)B.(3,7)
C.(3,4)∪(4,7)D.(3,+∞)
解析由题意得
解得3<
a<
7且a≠4.
2.设a=log32,则log38-2log36用a表示的形式是()
A.a-2B.3a-(1+a)2
C.5a-2D.-a2+3a-1
答案A
解析∵a=log32,∴log38-2log36=3log32-2(log32+1)
=3a-2(a+1)=a-2.
3.log56·
log67·
log78·
log89·
log910的值为()
A.1B.lg5C.
D.1+lg2
解析原式=
4.已知loga(a2+1)<
loga2a<
0,则a的取值范围是()
A.(0,1)B.
C.
D.(1,+∞)
解析由题意,得
∵a>
0,a≠1,loga(a2+1)<
loga2a,∴0<
1.∴
1.
5.已知函数f(x)=ax-1+logax(a>
0,a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a2,则a的值为()
A.4B.
C.3D.
答案D
6.若方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7·
lg5=0的两根为α,β,则αβ等于()
A.lg7·
lg5B.lg35C.35D.
解析∵lgα+lgβ=-(lg7+lg5)=-lg35=lg
∴α·
β=
7.已知f(log2x)=x,则f
=________.
解析令log2x=
,则2
=x,∴f
=2
8.log(
-1)(
+1)=________.
答案-1
解析log
-1(
+1)=log
-1
=log(
-1)
=-1.
9.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,lgx=-2+0.7781,则x=________.
答案0.06
解析∵lg2=0.3010,lg3=0.4771,
而0.3010+0.4771=0.7781,∴lgx=-2+lg2+lg3,
即lgx=lg10-2+lg6.
∴lgx=lg(6×
10-2),即x=6×
10-2=0.06.
10.
(1)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求log
的值;
(2)已知log189=a,18b=5,试用a,b表示log365.
解
(1)lgx+lgy=2lg(x-2y),
∴xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0.
即(x-y)(x-4y)=0,解得x=y或x=4y,
又∵
∴x>
2y>
0,
∴x=y,应舍去,取x=4y.
则log
=log
4=
=4.
(2)∵18b=5,∴log185=b,又∵log189=a,
∴log365=
11.设a,b,c均为不等于1的正数,且ax=by=cz,
+
=0,求abc的值.
解令ax=by=cz=t(t>
0且t≠1),
则有
=logta,
=logtb,
=logtc,
又
=0,∴logtabc=0,∴abc=1.
12.已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有等根,试判定△ABC的形状.
解∵关于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有等根,
∴Δ=0,即4-4[lg(c2-b2)-2lga+1]=0.
即lg(c2-b2)-2lga=0,故c2-b2=a2,
∴a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形.
2.2.1对数与对数运算
(一)
学习目标
1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化.
2.了解常用对数与自然对数的意义.
3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.
自学导引
1.如果a(a>
0且a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作b=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
2.对数的性质有:
(1)1的对数为零;
(2)底的对数为1;
(3)零和负数没有对数.
3.通常将以10为底的对数叫做常用对数,以e为底的对数叫做自然对数,log10N可简记为lgN,logeN简记为lnN.
4.若a>
0,且a≠1,则ab=N等价于logaN=b.
5.对数恒等式:
alogaN=N(a>
0且a≠1)
一、对数式有意义的条件
例1求下列各式中x的取值范围:
(1)log2(x-10);
(2)log(x-1)(x+2);
(3)log(x+1)(x-1)2.
分析由真数大于零,底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式(组),解之即可.
解
(1)由题意有x-10>
0,∴x>
10,即为所求.
(2)由题意有
即
1且x≠2.
(3)由题意有
解得x>
-1且x≠0,x≠1.
点评在解决与对数有
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