最新精编高中人教A版选修11高中数学32立体几何中的向量方法第3课时公开课优质课教学设计Word格式文档下载.docx
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设计意图
一、复习引入
1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.
2.平行与垂直关系的向量表示。
为学习新知识做准备.
二、探究新知
一、用向量处理平行问题
分析:
先复习共面向量定理。
要解决问题,可以考虑将向量
用向量
线性表示出来。
评注:
向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使
p=xa+yb.
利用共面向量定理可以证明线面平行问题。
本题用的就是向量法。
(图略)
分析:
面面平行
线面平行
线线平行。
由于三种平行关系可以相互转化,所以本题可用逻辑推理来证明。
用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化,在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系,方能减少运算量。
本题选用了坐标法。
思考:
一般应如何建立空间直角坐标系?
二、用向量处理垂直问题
分析:
线面垂直
线线垂直。
本题若用一般法证明,容易证A’F垂直于BD,而证A’F垂直于DE,
或证A’F垂直于EF则较难,用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。
例4,证明:
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
(三垂线定理)
已知:
如图,OB是平面
的斜线,O为斜足,
,A为垂足,
求证:
证明:
例1是一道线面平行问题,需要利用共面向量定理来证明。
同时介绍解决问题的向量法。
联系共线向量来理解。
例2是关于面面平行的问题,联系几何定理与向量平行。
同时介绍解决问题的坐标法。
例3是线面垂直问题,图形和例2一样是正方体,可进一步训练坐标法。
让学生体会坐标法的优势。
用向量法证明三垂线定理。
三、练习巩固
分别用向量法和坐标法解决以下问题:
向量法:
所以,结论成立。
坐标法:
(图略)
巩固知识,培养技能.
四、小结
利用向量解决平行与垂直问题
1.向量法:
利用向量的概念技巧运算解决问题。
2.坐标法:
利用数及其运算解决问题。
两种方法经常结合起来使用。
反思归纳
五、作业
1,直三棱柱
中,角ACB是直角,AC=1,CB=
,侧棱
=1,侧面
的两条对角线交点为D,
的中点为M,求证CD平面BDM。
2,课本p111第1、3题。
练习与测试:
(基础题)
1,直三棱柱ABC—A1B1C1中,若
,则
(
)
A.
+
-
B.
C.-
D.-
答:
D
2,若向量
、
(
B.
C.
D.以上三种情况都可能
B
3,一空间四边形ABCD的对边AB与CD,AD与BC都互相垂直,用向量证明:
AC与BD也互相垂直.
.
又
,
即
.……①
.
又
.……②
由①+②得:
4,如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点.
(1)求证:
EF∥平面PAD;
(2)求证:
EF⊥CD;
证:
如图,建立空间直角坐标系A-xyz,设AB=2a,
BC=2b,PA=2c,则:
A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),
D(0,2b,0),P(0,0,2c)
∵E为AB的中点,F为PC的中点
∴E(a,0,0),F(a,b,c)
(1)∵=(0,b,c),=(0,0,2c),=(0,2b,0)
∴=(+)∴与、共面
又∵EÏ
平面PAD
∴EF∥平面PAD.
(2)∵=(-2a,0,0)
∴·
=(-2a,0,0)·
(0,b,c)=0
∴CD⊥EF.
(较难题)
5,对于任何空间四边形,试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。
分析要证明EF、BC、AD平行于同一平面DF
(E、F分别为AB、CD的中点),只要证明相应AEC
向量EF与AD、BC共面即可。
B
如图,利用多边形加法法则可得,
=
=
…①。
又E、F分别是AB、CD的中点,故有
=-
…②
将②代入①后,两式相加得
2
,∴
与
共面,∴EF与AD、BC平行于同一平面。
注:
本题若用立体几何知识去证明,有一定的难度,由此体会向量法证明的优越性。
6,如图,已知a⊥α,a⊥b,b¢α,求证b∥α。
在α内作不共线向量m,nb
∵a、m、n不共面,∴b=xa+ym+zn。
a
两边同乘a得a·
b=x·
a·
a+y·
m+z·
nm
∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴a·
b=0,a·
m=0,a·
n=0
n
得x·
a=0而a≠0,∴x=0,即b=ym+zn
∴b、m、n为共面向量,又b¢α,b∥α。
7,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B上的点,F是AC上的点,且A1E=2EB,CF=2AF,
EF∥平面A1B1CD。
D1C1
+
…
(1)
1+
…
(2)
A1B1
(1)×
2+
(2)并注意到
=-2
,DC
,FE
得
-
AB
而EF¢平面A1B1CD,∴EF∥平面A1B1CD。
∴
为共面向量。
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