华师大八年级数学(上)复习提纲资料.docx
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八年级华师大版数学(上)复习提纲
(2011—2012学年)
第11章 数的开方
§11.1平方根与立方根
一、平方根
1、平方根的定义:
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。
(也叫做二次方根)即:
若x2=a,则x叫做a的平方根。
2、平方根的性质:
(1)一个正数有两个平方根。
它们互为相反数;
(2)零的平方根是零;
(3)负数没有平方根。
二、算术平方根
1、算术平方根的定义:
正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质:
(1)一个正数的算术平方根只有一个为正;
(2)零的算术平方根是零;
(3)负数没有算术平方根;
a
(4)算术平方根的非负性:
≥0。
三、平方根和算术平方根是记号:
a
a
a
a
平方根± (读作:
正负根号a);算术平方根 (读作根号a)即:
“± ”表示a的平方根,或者表示求a的平方根;
“ ”表示a的算术平方根,或者表示求a的算术平方根。
其中a叫做被开方数。
∵负数没有平方根,∴被开方数a必须为非负数,即:
a≥0。
四、开平方:
求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方。
其实质就是:
已知指数和二次幂求底数的
11
五、立方根
运算。
1、立方根的定义:
如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。
(也叫做三次方根)
即:
若x3=a,则x叫做a的立方根。
2、立方根的性质:
(1)一个正数的立方根为正;
(2)一个负数的立方根为负;
(3)零的立方根是零。
3、立方根的记号:
3a(读作:
三次根号a),a称为被开方数,“3”称为根指数。
3a中的被开方数a的取值范围是:
a为全体实数。
六、开立方:
求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
其实质就是:
已知指数和三次幂求底数的运算。
七、注意事项:
a
a
a
1、“± ”、“ ”、“3a”的实质意义:
“± ”→问:
哪个数的平方是a;
a
“ ”→问:
哪个非负数的平方是a;
“3a”→问:
哪个数的立方是a。
a
2、注意 和3a中的a的取值范围的应用。
x-3
如:
若 有意义,则x取值范围是 。
(∵x-3≥0,∴x≥3)(填:
x≥3)
若3-x2009
有意义,则x取值范围是 。
(填:
全体实数)
327
3、3-a=-3a。
如:
∵3-27=-3,- =-3,∴3-27=-327
7
6
5
4、对于几个算数平方根比较大小,被开方数越大,其算数平方根的值也越大。
10
如:
>
> > >
2
3
2
等。
2 和3 怎么比较大小?
(你知道吗?
不知道就问!
!
!
!
!
!
!
)
7
5、算数平方根取值范围的确定方法:
关键:
找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。
7
4
7
2
3
5
6
如:
确定 的取值范围。
∵ < <
9,∴2< <3。
6、几个常见的算数平方根的值:
7
»2.646。
八、补充的二次根式的部分内容
»1.414,
»1.732,
»2.236,
»2.449,
a
1、二次根式的定义:
形如 (a≥0)的式子,叫做二次根式。
2、二次根式的性质:
(1)
= · (a≥0,b≥0);
ab
a
b
a
b
a
(2)
(3)(
(4)
= (a≥0,b>0);
b
a)2=a(a≥0);
a2
=|a|
a
b
ab
3、二次根式的乘除法:
(1)乘法:
· =
a
b
a
(a≥0,b≥0);
(2)除法:
=
b
(a≥0,b>0)。
§11.2实数与数轴
一、无理数
1、无理数定义:
无限不循环小数叫做无理数。
2、常见的无理数:
10,7,6,5,2
(1)开方开不尽的数。
如:
,2
10,-
7
2
+1,6+2,35- 等。
(2)“p”类的数。
如:
p,-p,p,1,2p等。
3 p
(3)无限不循环小数。
如:
2.1010010001……,-0.234242242224……,等
二、实数
1、实数定义:
有理数与无理数统称为实数。
2、与实数有关的概念:
(1)相反数:
实数a的相反数为-a。
若实数a、b互为相反数,则a+b=0。
1
(2)倒 数:
非零实数a的倒数为 (a≠0)。
若实数a、b互为倒数,则ab=1。
a
ìa(a>0)
í
(3)绝对值:
实数a的绝对值为:
|a|=ï0(a=0)
î
ï-a(a<0)
3、实数的运算:
有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。
4、实数的分类:
(1)按照正负性分为:
正实数、零、负实数三类。
ì ì ì正整数ü
ï ï整数ï 0 ï
ï ï í ï
ï有理数í ï负整数ý有限小数和无限循环小数
实数ï
ï î ï
(2)按照定义分为:
í ï分数ì正分数ï
ï ï í负分数ï
ï î î þ
ï无理数ì正无理数ü
ï í负无理数ý无限不循环小数
î î þ
5、几个“非负数”:
a
(1)a2≥0;
(2)|a|≥0; (3) ≥0。
6、实数与数轴上的点是一一对应关系。
第12章 整式的乘除
§12.1幂的运算
一、同底数幂的乘法
1、法则:
am·an·ap·……=am+n+p+……(m、n、p……均为正整数)
文字:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
2、注意事项:
(1)a可以是实数,也可以是代数式等。
如:
p2·p3·p4=p2+3+4=p9;(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25;
2
2
2
2
( )3·( )4=( )3+4=( )7;(a+b)3·(a+b)4·(a+b)=(a+b)3+4+1=(a+b)8
(2)一定要“同底数幂”“相乘”时,才能把指数相加。
(3)如果是二次根式或者整式作为底数时,要添加括号。
二、幂的乘方
1、法则:
(am)n=amn(m、n均为正整数)。
推广:
{[(am)n]p}s=amnps
文字:
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
2、注意事项:
(1)a可以是实数,也可以是代数式等。
2
2
2
如:
(p2)3=p2×3=p6;[( )3]4=( )3×4=( )12;[(a-b)2]4=(a-b)2×4=(a-b)8
(2)运用时注意符号的变化。
(3)注意该法则的逆应用,即:
amn=(am)n,如:
a15=(a3)5=(a5)3
三、积的乘方
1、法则:
(ab)n=anbn(n为正整数)。
推广:
(acde)n=ancndnen
文字:
积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方,再把所得的幂相乘。
2、注意事项:
(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。
2
3
2
3
如:
(2p)3=22p2=4p2;( × )2=( )2×( )2=2×3=6;
(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3;[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2
(2)运用时注意符号的变化。
(3)注意该法则的逆应用,即:
anbn=(ab)n;如:
23×33=(2×3)3=63,(x+y)2(x-y)2=[(x+y)(x-y)]2
四、同底数幂的除法
1、法则:
am÷an=am-n(m、n均为正整数,m>n,a≠0)文字:
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
2、注意事项:
(1)a可以是实数,也可以是代数式等。
如:
p4÷p3=p4-3=p;(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4;
2
2
2
2
( )6÷( )4=( )6-4=( )2=2;(a+b)16÷(a+b)14=(a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab+b2
(2)注意a≠0这个条件。
(3)注意该法则的逆应用,即:
am-n=am÷an;如:
ax-y=ax÷ay,(x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3
§12.2整式的乘法
一、单项式与单项式相乘
法则:
单项式与单项式相乘,只要将它们的系数与系数相乘,相同字母的幂相乘,多余的字母照搬到最后结果中。
3 3
如:
(-5a2b2)·(-4b2c)·(- ab)=[(-5)×(-4)×(- )]·(a2·a)·(b2·b2)·c=-30a3b4c
2 2
二、单项式与多项式相乘
法则:
(乘法分配律)只要将单项式分别去乘以多项式的每一项,再将所得的积相加。
如:
(-3x2)(-x2+2x-1)=(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2x一(-3x2)·1=3x4-6x3+3x2
三、多项式与多项式相乘
法则:
(1)将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再将所得的积相加。
如:
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
(2)把其中一个多项式看成一个整体(单项式),去乘以另一个多项式的每一项,再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘,最后将所得的积相加。
如:
(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b=ma+na+mb+nb
§12.3乘法公式
一、两数和乘以这两数的差
1、公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2;名称:
平方差公式。
2、注意事项:
(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。
如:
(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19;
(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4x2y2-a2;
(a+b+p)(a+b-p)=(2xy)2-a2=4x2y2-a2;
(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同,中间是“异号”的情况,才能用平方差公式。
(3)注意公式的来源还是“多项式×多项式”。
二、完全平方公式
1、公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2;名称:
完全平方公式。
2
2
2
2
2
2、注意事项:
(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。
如:
( +3)2=( )2+2× ×3+32=2+6 +9=11+6 ;
(mn-a)2=(mn)2-2mn·a+a2=m2n2-2mna+a2;
(a+b-p)2=(a+b)2-2(a+b)p+p2=a2+2ab+b2-2pa-pb+p2;
(2)注意公式运用时的对位“套用”;
(3)注意公式中“中间的乘积项的符号”。
3、补充公式:
(a+b+c)2=a2+c2+b2+2ab+2bc+2ca
特别提醒:
利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是:
“一看二套三计算”。
§12.4整式的除法
一、单项式除以单项式
法则:
单项式相除,只要将它们的系数与系数相除,相同字母的幂相除,只在被除式中出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如:
-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c=-7ab2c
(2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3=8x6y3·(-7xy2)÷14x4y3=[8×(-7)]·x6+
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