专题5导数的应用含参函数的单调性讨论复习资料文档格式.docx
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步骤小结:
1、先求函数的定义域,
2、求导函数(化为乘除分解式,便于讨论正负),
3、先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况,
4、再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界),
5、注意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并.
[变式练习1]讨论的单调性,求其单调区间.
解:
(它与同号)
此时在为单调增函数,
即的增区间为,不存在减区间;
)当时;
此时在为单调增函数,
在是单调减函数,
即的增区间为;
的减区间为.
[典例2]讨论的单调性.
I)当时,恒成立(此时没有意义)
此时在为单调增函数,即的增区间为
II)当时,恒成立,
(此时不在定义域内,没有意义)
此时在为单调增函数,即的增区间为
III)当时,令
于是,当x变化时,的变化情况如下表:
(结合g(x)图象定号)
x
增↗
减↘
所以,此时在为单调增函数,在是单调减函数,
小结:
导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界,但要注意其定义域和连续性.即先求出的零点,再其分区间然后定在相应区间内的符号.一般先讨论无解情况,再讨论解过程产生增根的情况(即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x范围扩大而出现有根,但根实际上不在定义域内的),即根据零点个数从少到多,相应原函数单调区间个数从少到多讨论,最后区间(最好结合导函数的图象)确定相应单调性.
[变式练习2]讨论的单调性.
它与同号.
令,
当时,无解;
当时,(另一根不在定义域内舍去)
i)当时,恒成立(此时没有意义)
)当时,恒成立,
(此时方程判别式,方程无解)
iii)当时,
当x变化时,的变化情况如下表:
(结合g(x)图象定号)
所以,此时在为单调增函数,在是单调减函数,
一般最后要综合讨论情况,合并同类的,如i))可合并为一类结果.对于二次型函数(如)讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论.
[典例3]求的单调区间.
的定义域为R,
I)当时,在R上单调递减,减区间为R,无增区间.
)当时,是开口向上的二次函数,
令,因此可知(结合的图象)
i)当时,
所以此时,的增区间为;
的减区间为
ii)当时,
求函数单调区间可化为导函数的正负讨论(即分讨论其相应不等式的解区间),常见的是化为二次型不等式讨论,当二次函数开口定且有两根时,一般要注意讨论两根大小(分大、小、等三种情况)。
含参二次不等式解时要先看能否因式分解,若能则是计算简单的问题,需看开口及两根大小,注意结合图象确定相应区间正负.
[变式练习3]求的单调区间.
是开口向上的二次函数,
I)当时,恒成立
所以此时在R上单调递增,增区间为R,无减区间.
)当时
令
因此可知(结合的图象)与随x变化情况如下表
三次函数的导函数是常见二次函数,当二次函数开口定时对其正负进行讨论的,要根据判别式讨论:
无根的或两根相等的导函数只有一种符号,相应原函数是单调的较简单应先讨论;
然后再讨论有两不等根的,结合导函数图象列变化表,注意用根的符号代替复杂的式,最后结论才写回.个别点处导数为0不影响单调性.只有在某区间内导数恒为0时,相应区间内原函数为常数,一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况.
总结:
求单调区间要确定定义域,确定导函数符号的关键是看分子相应函数,因此讨论点有:
第一是类型(一次与二次的根个数显然不同);
第二有没有根(二次的看判别式),第三是有根是否为增根(在不在定义根内;
第四有根的确定谁大;
第五看区间内导函数的正负号(二次函数要看开口).确记要数形结合,多数考题不会全部讨论点都要讨论的,题中往往有特别条件,不少讨论点会同时确定(即知一个就同时确定另一个).判别式与开口的讨论点先谁都可以,但从简单优先原则下可先根据判别式讨论,因为当导函数无根时它只有一种符号,相应原函数在定义域内(每个连续的区间)为单调函数较简单.
导数的应用—含参函数的单调性讨论
班级姓名
1.已知函数,求的单调区间.
2.已知函数f(x)-(a-1),讨论函数的单调性,求出其单调区间.
的定义域为.
(1)
(2)
①若即时,>
0,故在单调递增.
②若0<
即时,
由得,;
由得,
故在单调递减,在单调递增.
③若,即时,
综上所述,当,单调增区为,减区间是;
当时,的减区间是,增区间是;
当时,在定义域上递增,单调增区为(不存在减区间);
当时,的减区间是,在增区间是.
3.已知函数,讨论函数的单调性.
因为,所以
(1)当时,,
当时,;
所以函数在上单调递增,在上单调递减;
(2)当时,的图像开口向上,
I)当时,,所以函数在R上递增;
)当时,方程的两个根分别为且
所以函数在,上单调递增,
在上单调递减;
(3)当时,的图像开口向下,且
方程的两个根分别为且
所以函数在,上单调递减,
在上单调递增。
综上所述,当时,所以函数在上单调递增,
在,上单调递减;
当时,在上单调递增,在上单调递减;
当,所以函数在,上单调递增,
当,函数在R上递增;
4.已知函数.讨论的单调性.
因为的定义域为
所以,
令,则同号
法一:
根据熟知二次函数性质可知g(x)的正负符号与开口有关,因此可先分类型讨论:
①当时,由于<
1,开口向下,结合其图象易知
,,此时,函数单调递减;
时,,此时,函数单调递增.
②当时,开口向上,但是否在定义域需要讨论:
因所以
i)当时,由于<
1,开口向上,结合其图象易知
,,此时,函数单调递增.
时,,此时,函数单调递减;
)当时,g(x)开口向上且,但两根大小需要讨论:
a)当时,恒成立,
此时,函数在上单调递减;
b)当,g(x)开口向上且在(0,)有两根
时,,此时,函数单调递减;
时,此时,函数单调递增;
c)当时,,g(x)开口向上且在(0,)有两根
此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论,而确定导函数符号的分子是常见二次型的,一般要先讨论二次项系数,确定类型及开口;
然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域内,再讨论两根大小注,结合g(x)的图象确定其在相应区间的符号,得出导函数符号。
讨论要点与解含参不等式的讨论相应。
法二:
①
i)当时,由于<
)当时,由于<
②时g(x)开口向上且
i)当时,恒成立,
)当,g(x)开口向上且在(0,)有两根
)当时,,g(x)开口向上且在(0,)有两根
5.设,讨论函数的单调性.
函数的定义域为
(x>
0)
令,则与同号
(1)当时,在定义域上为增函数
(2)当时,
当时,g(x)开口向上,图象在x轴上方,所以
所以,则在上单调递增
当,此时令,解得
由于,
因此可进一步分类讨论如下:
∵,;
则在上单调递增,
在上单调递减
)当时,或;
则在,上单调递增,
综上所述,f(x)的单调区间根据参数讨论情况如下表:
增
减
(其中)
6.已知函数()=(1+)(≥0),求()的单调区间.
,.
(1)当时,.
所以,在区间上,;
在区间上,.
故的单调递增区间是,单调递减区间是.
(2)当.
(3)当即时,故的单调递增区间是.
(4)当即()时,
故的单调递增区间是和,单调递减区间是.
(5)当即()时,
综上知:
当时,得单调递增区间是,单调递减区间是;
当时,的单调递增区间是;
当时,的单调递增区间是和,单调递减区间是
当时,的单调递增区间是和,单调递减区间是.
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