浙江专用高考数学二轮复习 专题一 集合常用逻辑用语函数与导数不等式 第2讲 函数图文档格式.docx
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1,f(a)=,f(a+1)=2(a+1-1)=2a,
因为f(a)=f(a+1),所以=2a,
解得a=或a=0(舍去).
所以f=f(4)=2×
(4-1)=6.
当a>
2,
所以f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a,
所以2(a-1)=2a,无解.
当a=1时,a+1=2,f
(1)=0,f
(2)=2,不符合题意.
综上,f=6.故选C.
(2)因为函数f(x)=的图象过点(1,1),所以m+1=1,解得m=0,所以f(x)=画出函数y=f(x)的图象(如图所示),由于函数g(x)是二次函数,值域不会是选项A,B,易知,当g(x)的值域是[0,+∞)时,f(g(x))的值域是[0,+∞).故选C.
【答案】
(1)C
(2)C
(1)在求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值属于哪个区间,再代入相应的解析式求解.当自变量的值不确定时,要分类讨论.
(2)对于分段函数,已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
[对点训练]
1.函数f(x)=的定义域是( )
A.(-1,+∞)
B.[-1,+∞)
C.[-1,2)∪(2,+∞)
D.(-1,2)∪(2,+∞)
解析:
选D.要使f(x)=有意义,需使即
所以函数f(x)的定义域为(-1,2)∪(2,+∞).故选D.
2.(2019·
宁波市九校期末联考)已知下列各式:
①f(|x|+1)=x2+1;
②f()=x;
③f(x2-2x)=|x|;
④f(|x|)=3x+3-x.
其中存在函数f(x)对任意的x∈R都成立的是( )
A.①④ B.③④
C.①②D.①③
选A.①f(|x|+1)=x2+1,由t=|x|+1(t≥1),可得|x|=t-1,则f(t)=(t-1)2+1,即有f(x)=(x-1)2+1对x∈R均成立;
②f()=x,令t=(0<t≤1),x=±
,
对0<t≤1,y=f(t)不能构成函数,故不成立;
③f(x2-2x)=|x|,令t=x2-2x,若t<-1时,x∈∅;
t≥-1,可得x=1±
(t≥-1),y=f(t)不能构成函数;
④f(|x|)=3x+3-x,当x≥0时,f(x)=3x+3-x;
当x<0时,f(-x)=3x+3-x;
将x换为-x可得f(x)=3x+3-x;
故恒成立.综上可得①④符合条件.
函数的图象及应用
图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换.尤其注意y=f(x)与y=f(-x),y=-f(x),y=-f(-x),y=f(|x|),y=|f(x)|及y=af(x)+b的相互关系.
考向1 函数图象的变换与识别
(1)函数y=sinx2的图象是( )
(2)(2019·
宁波九校模拟)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )
【解析】
(1)由于函数y=sinx2是一个偶函数,选项A、C的图象都关于原点对称,所以不正确;
选项B与选项D的图象都关于y轴对称,在选项B中,当x=±
时,函数y=sinx2<
1,显然不正确,当x=±
时,y=sinx2=1,而<
,故选D.
(2)由于f(e)=>0,排除D.由于f()=e>0,排除B.由于f(e2)=<f(e),故函数在(1,+∞)为减函数,排除C,所以选A.
【答案】
(1)D
(2)A
考向2 函数图象的应用
已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:
当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;
当|f(x)|<
g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)( )
A.有最小值-1,最大值1
B.有最大值1,无最小值
C.有最小值-1,无最大值
D.有最大值-1,无最小值
【解析】 由题意得,利用平移变换的知识画出函数|f(x)|,g(x)的图象如图,而h(x)=
故h(x)有最小值-1,无最大值.
【答案】 C
(2)函数图象的应用
①判断函数的性质.
②判定方程根的个数及不等式的解.
1.(2019·
绍兴一中模拟)函数y=的图象大致是( )
选A.因为y=,所以函数y=是奇函数,图象关于原点对称,故排除C;
当x<-1时,恒有y<0,故排除D;
-1<x<0时,y>0,故可排除B;
故选A.
鄞州高级中学月考)已知函数f(x)=,若关于f(x)的方程[f(x)]2-3f(x)+a=0(a∈R)有8个不等的实数根,则a的取值范围是( )
A.B.
C.(1,2)D.
选D.作出函数f(x)=的图象,如图所示:
关于f(x)的方程[f(x)]2-3f(x)+a=0有8个不等的实数根,故Δ=9-4a>
0,a<
,由函数f(x)图象可知f(x)∈(1,2),令t=f(x),
则方程[f(x)]2-3f(x)+a=0可化为a=-t2+3t,t∈(1,2).
a=-t2+3t表示开口向下,对称轴为直线t=的抛物线,
可知a的最大值为-+3×
=,
a的最小值为2,故a∈.综上可知a∈.故选D.
函数的性质及应用
1.函数的单调性
单调性是函数的一个局部性质,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法.
2.函数的奇偶性
函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y轴对称,在关于坐标原点对称的定义区间上具有相反的单调性;
奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义区间上具有相同的单调性.判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法.
(1)(2019·
浙江吴越联盟)已知函数f(x)是R上的奇函数,当x>0时为减函数,且f
(2)=0,则集合{x|f(x-2)>0}=( )
A.{x|0<x<2或x>4}B.{x|x<0或x>4}
C.{x|0<x<2或x>2}D.{x|x<0或2<x<4}
(2)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.
【解析】
(1)因为奇函数满足f
(2)=0,
所以f(-2)=-f
(2)=0.
对于{x|f(x-2)>0},当x-2>0时,f(x-2)>0=f
(2),
因为当x∈(0,+∞)时,f(x)为减函数,所以0<x-2<2,
所以2<x<4;
当x-2<0时,不等式可化为f(x-2)>
0=f(-2),
因为当x∈(0,+∞)时,f(x)为减函数,
所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,
所以x-2<-2,所以x<0.
综上可得,不等式的解集为{x|x<0或2<x<4},故选D.
(2)f(x)=1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,对于一个奇函数,其最大值与最小值之和为0,即g(x)max+g(x)min=0,而f(x)max=1+g(x)max,f(x)min=1+g(x)min,所以f(x)max+f(x)min=M+m=2.
【答案】
(1)D
(2)2
(1)四招破解函数的单调性
①对于选择、填空题,若能画出图象,一般用数形结合法;
②对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数,常转化为基本初等函数的单调性问题来解决;
③对于解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数常用导数法;
④对于抽象函数一般用定义法.
(2)判断函数奇偶性的三个技巧
①奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
②确定函数的奇偶性,务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.
③对于偶函数而言,有f(-x)=f(x)=f(|x|).
宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递减,若实数a满足f(log3a)+f(loga)≥2f
(1),则a的取值范围是( )
A.(0,3] B.(0,]
C.[,3]D.[1,3]
选C.由于函数f(x)是定义在R上的偶函数,则f(-x)=f(x),即有f(x)=f(|x|),
由实数a满足f(log3a)+f(loga)≥2f
(1),
则有f(log3a)+f(-log3a)≥2f
(1),
即2f(log3a)≥2f
(1)即f(log3a)≥f
(1),
即有f(|log3a|)≥f
(1),
由于f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,
则|log3a|≤1,即有-1≤log3a≤1,
解得≤a≤3.
绍兴、诸暨高考二模)已知f(x)是定义在R上的单调递增函数,则下列四个命题:
①若f(x0)>x0,则f[f(x0)]>x0;
②若f[f(x0)]>x0,则f(x0)>x0;
③若f(x)是奇函数,则f[f(x)]也是奇函数;
④若f(x)是奇函数,则f(x1)+f(x2)=0⇔x1+x2=0,其中正确的有( )
A.4个B.3个C.2个 D.1个
选A.对于①,因为f(x)是定义在R上的单调递增函数,若f(x0)>x0,则f[f(x0)]>f(x0)>x0,故①正确;
对于②,当f[f(x0)]>x0时,若f(x0)≤x0,由f(x)是定义在R上的单调递增函数得f[f(x0)]≤f(x0)≤x0与已知矛盾,故②正确;
对于③,若f(x)是奇函数,则f[f(-x)]=f[-f(x)]=-f[f(x)],所以f[f(x)]也是奇函数,故③正确;
对于④,当f(x)是奇函数,且是定义在R上的单调递增函数时,若f(x1)+f(x2)=0,则f(x1)=-f(x2)⇒x1=-x2⇒x1+x2=0;
若x1+x2=0⇒x1=-x2⇒f(x1)=f(-x2)=-f(x2)⇒f(x1)+f(x2)=0,故④正确;
专题强化训练
金华十校调研)已知奇函数f(x)当x>0时,f(x)=x(1-x),则当x<0时,f(x)的表达式是( )
A.f(x)=-x(1+x)B.f(x)=-x(1-x)
C.f(x)=x(1+x)D.f(x)=x(x-1)
选C.设x<0,则-x>0,又当x>0时,f(x)=x(1-x),故f(-x)=-x(1+x),又函数为奇函数,故f(-x)=-f(x)=-x(x+1),即f(x)=x(x+1),故选C.
2.已知f(x)=x+-1,f(a)=2,则f(-a)=( )
A.-4B.-2
C.-1D.-3
选A.因为f(x)=x+-1,所以f(a)=a+-1=2,所以a+=3,所以f(-a)=-a--1=--1=-3-1=-4,故选A.
3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y
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